文摘

经典的自由运动的拉格朗日承认一个常数,在一个二维空间,使用卡普托广义导数的分数微积分。获得相应的指标和部分克里斯托费尔符号,杀害向量,Killing-Yano张量。一些报告这些量的精确解。

1。介绍

分数微积分的工具开始被成功地应用在许多领域的科学与工程(见,例如,1- - - - - -12),在其中的引用)。分形及其连接当地部分向量微积分代表另一个有趣的应用领域(见,例如,13,14),在其中的引用)。几个部分分化和整合的定义在文献中存在。最常用的是Riemann-Liouville和卡普托衍生品。一个常数的Riemann-Liouville导数不为零而卡普托的一个常数的导数为零。这个属性使卡普托定义更适合在所有问题涉及分数微分几何15,16]。分数阶微积分卡普托微分算子定义为(1- - - - - -8] 在哪里伽马函数和吗。在这项工作中,我们考虑的情况,。的幂函数,卡普托分数阶导数满足 杀戮和所扮演的角色Killing-Yano张量测地线运动的粒子和superparticle弯曲的背景是一个主题进行一场激烈的争论在过去几十年(17- - - - - -26]。在[27)提出了一种泛化的外部微积分。此外,介绍了二次拉格朗日通过添加表面自由粒子的拉格朗日(28]。

出于上述结果在微分几何,我们讨论在本文中隐藏的对称对应分数杀死矢量和张量Killing-Yano弯曲空间相关的物理系统。

卡普托部分的分数阶微分算子被定义为 在这个工作我们再次考虑这个案子,,我们放弃这个词的符号。

2。主要的结果

在下面,我们杀死向量和张量Killing-Yano对应一些弯曲的空间与物理意义。

2.1。一维情况下

考虑一维自由拉格朗日,承认运动的一个常数;也就是说,动量(28] 拉格朗日可以写成 在哪里。订单的部分拉格朗日是由 我们考虑卡普托分数导数。

我们推广克里斯托费尔符号在分数的情况下,,因为 偏导数的秩序在部分情况下定义。

我们注意到,因为指标是常数,克里斯托费尔符号消失,

2.1.1。部分向量和张量Killing-Yano死亡

杀害向量可以从广义计算方程,即 在哪里部分协变导数定义为 因为所有的克里斯托费尔符号消失,很容易显示 为上面的方程,一个解决方案,,在那里是一个常数。而对于,我们有通用的解决方案 在哪里,,,,是常数。

的分数Killing-Yano反对称张量可以计算使用条件 在哪里分数的协变导数Killing-Yano张量吗定义为 我们发现 所有的值,,。一个解决方案是和,在那里是一个常数,。而对于,也就是说,,我们有通用的解决方案 在哪里,是常数。

2.2。二维情况

下面我们考虑古典自由拉格朗日,在二维空间,承认运动的一个常数;也就是说,角动量(28] 的分数阶拉格朗日 在哪里是由

矩阵的逆矩阵

我们推广克里斯托费尔符号在分数的情况下,,因为

一个可以证明 为,而

2.2.1。部分杀死向量

杀害向量可以从广义计算方程 在哪里部分协变导数定义为 很容易证明

一个解决方案和可以很容易地找到任何分数阶吗,也就是说,,即 在哪里,,,,是常数。的解决方案不容易找到吗。然而,对于,也就是说,方程简化,因为 在这种情况下一般解 在哪里,是常数。

2.2.2。部分Killing-Yano张量

部分反对称张量Killing-Yano可以派生的使用条件 在哪里分数的协变导数Killing-Yano张量吗定义为 对于分数阶,很难找到一个解析解。然而,对于订单克里斯托费尔符号消失;我们发现 所有的值,,。一个解决方案是,和,,的一个线性组合吗,在哪里,即 在哪里,,,,,是常数。

3所示。结论

在这项工作中,我们调查的存在部分杀死引起的几何矢量和张量Killing-Yano化为分数古典自由运动的拉格朗日承认一个常数。我们讨论一维的情况下,二维弯曲空间。我们使用卡普托分数阶导数的定义来计算分数克里斯托费尔符号,因此我们提供了明确的解决部分向量和张量Killing-Yano死亡。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。