文摘
的算法构造无穷多辛实现广义sl(2)发言提出了磁铁。基于该算法,可积哈密顿系统的连续Rosochatius变形。作为例子,连续Rosochatius加尼叶系统的变形和Henon-Heiles系统以及他们宽松的表征,得到。
1。介绍
通常哈密顿系统的可积性摧毁即使很小的扰动。早在1877年,Rosochatius首先发现它将添加一个潜在的可积性逆平方的总和的坐标的纽曼系统[1,2]。这提供了一个有趣的例子可积的扰动。如今,由此产生的系统称为Neumann-Rosochatius系统(3- - - - - -7]。1985年,Wojciechowski获得一个类比系统(称为Garnier-Rosochatius系统)加尼叶系统(8,9]。在1999年晚些时候,基于Deift技术和著名的定理,高斯变换诺伊曼体系映射到系统雅可比,久保等人构建的类比系统雅可比系统或椭球上的测地线流动方程(10- - - - - -12]。2007年,报告的作者之一(周)广义Rosochatius变形约束的孤立子流(13),然后一直延伸到构造方法的可积变形辛地图(14)和孤子方程自洽来源(15]。
出现一些重要的物理和数学的应用Rosochatius变形可积系统。例如,Neumann-Rosochatius系统可以用来描述一个旋转的动态闭弦和膜(16,17Garnier-Rosochatius系统),可以用来解决多组分耦合非线性Schodinger方程(18,19],Rosochatius变形KdV方程的自洽源可以用于建立KdV6 bi-Hamiltonian结构方程(20.]。
最近,我们提出一种方法来生成可积Rosochatius诺伊曼体系的变形连续(21]。的宽松的矩阵纽曼系统的副本是古典形式的sl(2)发言磁铁上定义维子流形。在本文中,我们想要显示的方法可以应用于宽松的可积哈密顿系统矩阵的广义的形式发言磁铁。我们首先提出一个算法构造无穷多实现广义sl(2)发言磁铁模型。然后,我们描述如何生成可积哈密顿系统的实现基于sl(2)发言磁铁。Rosochatius变形的可积哈密顿系统解释为特殊情况的实现广义sl(2)发言磁铁模型。因此,这种算法使我们能够构建Rosochatius可积哈密顿系统连续的变形。作为应用,我们连续获得Rosochatius加尼叶系统的变形和Henon-Heiles系统以及他们松懈的表征。
论文的计划如下。节2,我们建议无穷多辛实现sl(2)发言磁铁和描述如何生成可积哈密顿系统在此基础上实现。在部分3和4,我们注意学习加尼叶系统和Henon-Heiles系统的可积变形,分别。一些结论部分5。
2。广义sl(2)发言磁铁及其实现
2.1。广义的实现sl(2)发言磁铁
我们认为宽松的矩阵形式的广义发言磁铁(22,23] 在哪里是一个无多项式矩阵的条目或和满足标准sl的副本代数 与卡西米尔
众所周知,sl代数(2)有一个辛实现: 在哪里,规范标准辛空间上的坐标吗。的实现(4),Lie-Poisson括号(2)是通过计算标准的泊松括号中恢复过来 在哪里,,,是任意光滑函数呢和。
直接计算,我们观察下面的命题。
命题1。如果,,是一个实现(2),所以是 在哪里任意常数。
这一命题为我们提供了两种新的sl(2)代数(实现2)从一个已知的一个。此外,应用这两种实现反过来,我们可以构造一个无穷多实现sl(2)代数(2)。例如,从(4),我们得到以下的实现(2):
2.2。导致生成可积哈密顿系统基于sl(2)实现的发言磁铁
现在,我们描述了如何生成一个可积哈密顿系统基于辛实现sl(2)发言磁铁。我们假设松懈矩阵(1满足一个矩阵的关系(24] 在哪里,,是单位矩阵,是一个任意参数,表示矩阵的换向器,如。根据的一般理论矩阵(24,25),我们有
首先,我们扩大作为 从(10),我们有 这意味着在对合成对。通常,我们可以挑出功能独立的在。选择一个哈密顿,这是由部分组成的的年代,我们有 功能独立,involutive成对积分,,确保哈密顿系统是完全可积的刘维尔[26]。
另外,用一个实现(2)到宽松的矩阵(1)和相应的的年代,以上定义,我们终于获得一个可积哈密顿系统的哈密顿用正则坐标表示:
上述配方显示,一旦有辛实现sl(2)代数(2),我们可以得到一个可积哈密顿系统。在下一节中,我们将采取加尼叶系统和Henon-Heiles系统作为例子来表明Rosochatius变形和第二Rosochatius变形可积系统可以生成的实现(7)和(8),分别根据上述配方。因此,应用命题1进而使我们能够连续构造Rosochatius变形的可积哈密顿系统。
3所示。连续Rosochatius加尼叶系统的变形
我们把在(1), 然后,宽松的矩阵(1)成为 直接计算产量 相当于矩阵代数。
命题2。 满足矩阵的关系 在哪里
扩大如下: 在哪里 然后,我们有involutive关系
的实现(4),我们获得以下松懈的矩阵 然后,(21)成为 这里后,和代表标准的欧氏空间的内积。哈密顿系统的哈密顿读取 这只不过是加尼叶系统[27,28]。我们可以直接检查,加尼叶系统(25)允许松懈表示: 在哪里是由(23),
例3 (Garnier-Rosochatius系统)。从实现(7),我们到达松懈的矩阵 和(21)成为 在哪里。选择一个哈密顿,我们到达 也就是Garnier-Rosochatius系统(8,9,13,29日]。它可以很容易地检查(30.)允许松懈表示: 在哪里是由(28),是由(27)。
示例4(第二个Rosochatius变形加尼叶系统)。基于的实现(8),我们得到松懈的矩阵 和运动的积分 选择一个哈密顿,我们获得一个可积哈密顿系统 这是第二个Rosochatius加尼叶系统的变形。直接计算,我们发现(35)承认宽松表示: 在哪里
毫无疑问,我们可以连续构造Rosochatius变形加尼叶系统通过应用实现的两种命题1反过来,我们部分中描述的配方2。2。在这里,我们只存在上面的两个例子。
4所示。连续Rosochatius Henon-Heiles系统的变形
现在,我们开始松懈的矩阵形式 定义一个生成函数 我们有 我们可以直接检查(38)满足相同的矩阵的关系(18)。因此,我们有involutive关系:
现在,我们讨论了可积哈密顿系统生成的矩阵(松懈38)及其实现。首先,与实现(4),我们到达以下松懈的矩阵: 和(40)成为
哈密顿系统的哈密顿读取 也就是Henon-Heiles系统(30.- - - - - -32),它允许松懈表示: 在哪里是由(42),
示例5 (Henon-Heiles Rosochatius变形的系统)。在实现(7),我们到达松懈的矩阵 和(40)成为 以哈密顿为,我们有 这正是Rosochatius Henon-Heiles变形系统[12,15]。它可以直接检查(49)允许松懈表示: 在哪里是由(47),是由(46)。
例子6(第二Rosochatius变形Henon-Heiles系统)。基于的实现(8),我们得到松懈的矩阵 运动的积分,,,,可以从生成。特别是,我们有 选择一个哈密顿,我们到达一个可积哈密顿系统 这是第二个Rosochatius Henon-Heiles系统的变形。再一次,我们可以检查(53)允许松懈表示: 在哪里是由(51),是由(46)。
5。结束语
我们已经展示了如何连续生成可积Rosochatius变形的可积哈密顿系统的松散的矩阵形式的广义发言磁铁。作为应用,我们获得了连续Rosochatius加尼叶系统的变形和Henon-Heiles系统连同他们的宽松的表征。我们的方法是在一个统一的方式来执行的。毫无疑问,我们的方法可以应用于其他约束孤子流28,32)的宽松的矩阵形式的广义发言磁铁或广义发言磁铁与边界。同时,我们的话,我们的方法可以用于构造连续Rosochatius变形可积辛地图和孤子方程的自洽来源。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这部分工作是由中国国家自然科学基金(批准号11301229和11301229),江苏省自然科学基金(批准号BK20130224),自然科学基金中国江苏高等教育机构(批准号13 kjb110009)。