文摘
本文处理的振荡行为迫使二阶integrodynamic方程在时间尺度上。结果是新的连续和离散的情况下,可以应用于沃尔泰拉积分方程在时间尺度。在连续情况下我们也提供了一个数值例子来说明结果。
1。介绍
时间尺度上的动态方程是一个相当新的话题和一般基本思想和背景,我们参考读者1]。振动和振动的结果讨论了沃尔泰拉积分方程的类型只在一些论文在文献中;参见[2- - - - - -5]。
在本文中,我们考虑的是二阶integrodynamic方程的解的振荡行为在时间尺度的形式 我们把是一个任意的时间尺度和。每当我们写,我们的意思是。我们假设在下面。(我) 和rd-continuous和和为和存在rd-continuous功能这样 (2) 是连续的,假设存在rd-continuous函数和一个实数与这样 我们只考虑的解决方案(1重要的和delta-differentiable)。今后解决方案适用于此类解决方案(1)。
一个解决方案(1)据说是振荡,如果每一个,我们有 否则,它是建立。
我们所知,没有结果的振荡行为的解决方案(1)。因此,本文的主要目的是建立一些新的标准的振荡行为(1)和其他相关方程。我们也提供一些数值例子来说明结果的时候。
2。主要结果
我们将使用下面的前题。
引理1(见[6])。如果和是负的,那么 平等成立当且仅当在哪里。
本部分介绍的振荡特性的研究(1)。接下来,我们 现在我们给足够的条件下建立的解决方案(1)满足
定理2。让条件(I)和(II),,函数是有限的: 如果 然后每一个非振动解(1)满足
证明。让是一个非振动解的解决方案(1)。首先,假设最终积极,说什么为对于一些。使用条件(4)(1)我们有
让
通过假设(3我们获得
因此,从(13)我们有
应用引理1来与
我们有
因此,我们得到
积分(19)来我们有
利用引理3 (7]交换积分的顺序,我们获得
所以
积分不等式从来和使用(9函数)和事实是有界的说,由,我们看到,
再一次,使用引理3 (7我们有
或
所以
在哪里和是一个表达式的上限
应用Gronwall不等式(1推论6.7)不平等(26),然后使用条件(10)我们有
如果最终是负的,我们可以设置吗看到满足(1),取而代之的是和取而代之的是。它遵循以类似的方式
我们得出结论(28)和(29日),(12)持有。
定理3。让、条件(我),(2),(9)和(11)举行, 如果 对所有,然后(1)是振荡。
证明。让是一个非振动解的解决方案(1),说为对于一些。证明当最终负是相似的。在定理的证明2我们到达 条件(30.)意味着条件(10),因此定理的结论2成立。加之(9),显示第二个和最后两个积分(32)是有界的。最后,以和使用条件(30.)和(31日),导致矛盾的事实最终是积极的。
推论4。让和条件(我),(2),(9)和(30.)举行。此外,假设 如果 对所有,然后(1)是振荡。类似的推理,在次线性情况下保证integrodynamic(以下定理1)当。
定理5。让和条件(I)和(II)。此外,假设(9)和(33),为所有假设 然后每一个非振动解的解决方案(1)满足(12)。
定理6。让和条件(I)和(II)。此外,假设(9)和(33),假设(35)是满意的, 然后(1)是振荡。
注7。本文的技术可以用来沃尔泰拉积分方程在时间尺度的形式
注8。我们注意,结果在这一节中可以使用额外的假设获得的功能nonincreasing对第一个变量。在这种情况下,函数在证明和功能在定理的陈述所取代。具体的细节留给读者。
3所示。说明性的例子
作为一个数值例子的结果部分2我们考虑以下方程: 与初始条件和。方程(39)可转化为一分之二阶常微分方程代替。这将导致以下系统: 许多数值技术可用于解决(40)。在当前的工作,二阶欧拉技术被认为是准确的修改。的时间间隔将细分为平等的细分与为每个细分宽度。修改后的欧拉方法的预测和校正步骤 在哪里 积分(43在每一次即时)可以近似数值使用梯形法则的准确性。
让,和,。为,所有定理的条件3和6感到满意,因此(39振荡(见图)1)。在图2,初始条件都发生了变化和与;解决方案也振荡。
4所示。结论
一个二阶integrodynamic方程的振荡行为时间尺度上考虑。结果本文建立新的标准,结果表明,这些结果可用于沃尔泰拉积分方程在时间尺度。一个数值例子在连续情况下解决显示结果的有效性。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。