文摘
行波解的广义布西涅斯克波动方程使用维尔斯特拉斯椭圆函数的方法进行了研究。因此,一些已知的解决方案都恢复,同时给出一些新的,以及可积的。
1。介绍
众所周知,非线性演化方程的精确行波解进行调查中发挥着重要作用非线性物理现象的研究。为了获得准确的解决方案,提出了许多方法,如齐次平衡法(1),双曲函数展开法(2),雅可比椭圆函数法(3],拓广方法[4),同伦分析方法(5,6),动力系统的分岔理论方法(7,8),维尔斯特拉斯椭圆函数方法(9]。在这些方法中,维尔斯特拉斯椭圆函数方法解决非线性演化方程的一个有力的数学工具。通过使用这种方法,多种重要的非线性演化方程已经圆满地解决了(10,11]。
了解非线性色散的作用在液体滴的形成模式,罗西瑙和海曼12介绍和研究了完全非线性的家庭KdV方程(,):
类孤波(他们叫compactons)的特殊属性,与其他compacton碰撞的解决方案之后,他们再度出现具有相同的形状。从那时起,compacton解决方案吸引了很多感兴趣的(13- - - - - -15]。你可以参考16- - - - - -18),例如,对于更多细节的属性compacton解决方案。Compacton解决方案和单独解决方案的其他布西涅斯克方程和Boussinesq-like等非线性演化方程(,许多作者()方程进行了广泛的调查19- - - - - -21]。最近,严19]介绍了一类完全布西涅斯克方程(,) 并提出一些compacton解决方案时。刘等人。22)利用积分方法调查其compacton解决方案。最近,朱(20.,21]研究Boussinesq-like(,)方程 通过使用扩展的分解方法。
利用正弦余弦的方法技术,Wazwaz [23)获得各种形式的改进的布西涅斯克方程行波解与积极或消极的指数。这是(突出显示23)的变异和指数方程直接导致质变的物理结构获得的解决方案。赖和吴24,25]提出的方法在水列夫空间构造渐近解的广义布西涅斯克方程。使用双曲正切方法,Wazwaz [26)获得了compacton解决方案,孤波,孤独的模式解决方案,和布西涅斯克波动方程的周期解 及其推广形式 在哪里和是常数。
在本文中,我们将考虑以下广义布西涅斯克方程的行波解(简单地叫方程):
本文的目的是探讨行波解(6)系统,通过应用维尔斯特拉斯椭圆函数的方法。它将显示一些已知的解决方案都恢复,同时,一些新的。
本文的其余部分组织如下。节2,我们首先概述维尔斯特拉斯椭圆函数方法将在下一节中使用。节3,我们给一些特定的行波解(6)。最后,给出了一些结论4。
2。维尔斯特拉斯椭圆函数
让我们考虑以下非线性微分方程:
众所周知[27,28),解决方案(7)可以用椭圆函数来表示。它读取 质数表示分化对在哪里和是一个简单的根源吗。的不变量,椭圆函数相关系数由(29日]
当和是真实的和判别呢 是正、负或零,我们有不同的行为吗。条件(9] 导致周期解,而条件 导致孤立波解。
如果,然后退化成三角或双曲函数(30.]。因此,根据(周期解8)是由 和孤波的解决方案 在哪里在(13),在(14)。
3所示。行波解的广义布西涅斯克方程
在本节中,我们考虑的行波解(6)。假设(6)行波形式的精确解 在哪里,,任意常数。用(15)(6),我们得到 积分(16)两次,让集成为零的常数产生 使转换,,(17)成为 用(18积分因子)双方,并对集成,我们有 在哪里是一个积分常数。
使转换,我们得到了 为了保证的可积性20.)的权力必须是整数数字0和4之间,因此我们有以下参数条件:(1)如果,,然后;(2)如果,,,然后;(3)如果,,那么我们就有和;(4)如果,那么我们就有或。
接下来,使用基本结果维尔斯特拉斯椭圆函数部分所示2,我们将分析的解决方案(20.在上述情况下)。
3.1。案例1
(我)如果,,,(20.)成为
很容易看到有两个根源:和。从(8(),我们可以得到以下解决方案21): 不变量在哪里 然后判别。根给出了平凡解和非零解(21)可以通过找到。因此,从(11),我们有周期波解(21) 为。从(12),我们有孤波解 为。
因此,当,(6)有以下周期波的解决方案: 当,(6)有以下孤波的解决方案:
备注1。当解决方案(26)- (27),我们获得的是完全一样的(22)- (24赖(获得的)31日]。
(2)如果,,,(20.)成为
很容易看到有两个根源:和。从(8),我们可以获得解的表达式(28)是
不变量是由(23)。将根到(29日),我们得到
自从判别,从而从(11),我们有周期波解(28)
为。从(12),我们有孤波解
为。
因此,当,(6)有以下周期波的解决方案: 当,(6)有以下孤波的解决方案: 当用第二根到(29日),我们有 所以从(11),我们有周期波解(28): 为。从(12),我们有孤波解(28): 因此,当,(6)有以下周期波的解决方案: 当,(6)有以下孤波的解决方案:
备注2。当解决方案(33)- (34),我们获得的是完全一样的(23)- (25赖(获得的)31日];当和解决方案(38)- (39),我们获得的是相似的解决方案(26)- (28赖(获得的)31日]。
(3)如果,,,(20.)成为 根据(8)的解决方案(40)阅读 不变量在哪里 将根到(41),我们得到了简单的解决方案。然而,当根到(41),我们可以获得解决方案(40) 自从判别,很容易看到的11),(12),上面的解决方案(43)将生成相同的周期性和孤波解(6)(26),(27)。
(四)如果,,,(20.)成为 使用相同的参数作为上述,我们可以推断出给的完全相同的解决方案(6例1 (2)。
3.2。案例2
(我)如果,,,,(20.)成为 使用类似的案例1的参数(我),我们可以推断,当,(6)有以下周期波的解决方案: 当,(6)有以下孤波的解决方案:
备注3。当解决方案(46)- (47),我们获得的是完全一样的(62年)- (64年赖(获得的)31日]。
(2)如果,,,,(20.)成为 使用案例1(2)类似的言论,我们可以推断,当,(6)有以下周期波的解决方案: 当,(6)有以下孤波的解决方案:
备注4。当解决方案(49)- (50),我们获得的是完全一样的(59)- (61年赖(获得的)31日]。
(3)如果,,,,(20.)成为 使用类似的参数情况下2 (i),我们可以推断出它会给同样的解决方案的(6)是由(45)和(46)。
(四)如果,,,, 使用类似的参数情况下2(2),我们可以推断出它会给同样的解决方案的(6)是由(48)和(49)。
3.3。案例3
(我)如果,,,,(20.)成为 根据(8)的解决方案(52)阅读 的不变量是在哪里 所以我们可以得到解决的一般表达式(6): 例如,用最简单的根的到(56),我们得到
(2)如果,,,,(20.)成为 使用类似的参数情况3(我),我们可以得到下面的一般解的表达式(6): 不变量是由(55)。
3.4。例4
(我)如果,,,(20.)成为 遵循同样的步骤如上所述,我们可以得到解决(6): 在哪里是真正的根,给出了不变量 (2)如果,,,(20.)成为 同样,我们可以得到一般的解决方案(6): 在哪里是真正的根。
4所示。结论
从上面的讨论,我们发现广义布西涅斯克方程的行波解所表达的,这是双曲函数和三角函数,不借助数学软件。结果表明,维尔斯特拉斯函数法是一种强大的数学工具搜索精确解非线性微分方程,尤其是独居。可能是有利的,这很一般方法会导致自由参数中所示的解决方案。我们相信,这种方法也可以用来解决其他非线性方程组。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。