文摘
本文论述了exp-function方法的主要优势在寻找非线性波方程的精确解。借助于一些数学软件,解决方案过程变得非常简单和可访问。
1。介绍
最重要的一个方面在非线性科学是如何解决一个非线性方程的精确解。最近出现了许多不同的方法,其中同伦摄动方法(1- - - - - -4),tanh-method (5),sinh-method (6,7,拓广的方法(8- - - - - -11)已经吸引了很多的注意力;然而,所有这些方法都是有效的为一些特殊类型的非线性方程组。因此非常需要找到一个通用方法非线性方程组;这是非常具有挑战性,exp-function方法(12- - - - - -15)符合这个要求。exp-function方法本身是nonmathematicians数学美,极为容易。的使用方法不需要特别先进的微积分的知识,和孤独是特别有效的解决方案。
2。Exp-Function方法
exp-function方法首次提出了他和吴16),我们考虑一般的偏微分方程(PED)形式 挑选的主要解决方案过程及其优点。
使用转换(16] 在哪里,未知常量,应该确定后。由(2),我们可以转换(1)以下非线性常微分方程: 根据exp-function方法中,我们假设它的解决方案可以在下列表格中表达的16,17]: 在哪里是正整数,可以自由选择。确定的价值和我们平衡最高阶的线性项(3)最高的非线性项的顺序。同样决定的价值和,我们平衡线性和非线性的最低订单条款(3)。用(4)(3),收集相同的术语,将每个系数经验值为零的力量,我们可以得到一组代数方程来确定未知常数。
3所示。非线性波动方程的精确解
为了说明exp-function方法的基本解过程,我们使用Burgers-Huxley方程作为一个例子,它可以表示为18] 在哪里是一个未知函数,的偏导数是吗关于和分别为,和任意常数。
根据exp-function方法(15- - - - - -17),我们引入了一个复杂的变化定义为 方程(5)因此成为一个常微分方程 我们假设的解决方案(7)可以表示为 因此我们有 平衡最高exp-function顺序(9),我们有,从而导致结果。同样我们平衡线性和非线性的最低订单(5)确定的值和,我们可以得到的。为简单起见,我们集和;然后(8)减少 用(10)(5),我们有 在哪里, 设定的系数为零,我们有 一些数学软件的帮助下,我们可以解决代数方程的解决方案。
案例1。考虑 这意味着以下精确解: 在哪里 参数,,是一个免费的实数。
例2。考虑 这种情况下给另一个确切的解决方案如下: 在哪里非零的自由参数。
例3。考虑 这将导致以下精确解: 在哪里非零的自由参数。
4所示。结论
通过一些数学软件,解决过程非常简单和丰富的解决方案预计[19- - - - - -21]。exp-function方法是非线性方程组的通用工具,可以很容易地扩展到分数微积分22- - - - - -27]。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这个项目是由中国国家自然科学基金(国家自然科学基金委、赠款U1204703和U1304614),河南省重点科技项目(122102310004),中央大学的基础研究基金(HUST: 2012 qn087和2012 qn088),和创新的科学家和技术人员队伍建设项目郑州市(10 ljrc190)。