文摘
在这工作,集值单调映射的几个不动点定理,并证明了集值映射Caristi-type在半序分离拓扑空间,这的确扩展和提高许多最近的结果在度量空间的设置。
1。介绍
1976年,Caristi [1]证明Caristi的不动点定理1,2),密集的研究在过去几十年的主题,并发现许多应用程序在非线性分析。回想一下,这种普遍的不动点定理表明,每个映射有一个定点提供吗完备度量空间,存在一个低半连续和有下界的函数这样为每一个。柯克(2)给一个优雅的原始证明Caristi的结果通过调查最大的元素的存在部分有序的度量空间,在那里是一个偏序定义的 此后,柯克的方法已广泛应用于原始Caristi归纳的结果,这项研究单调映射的不动点定理对引入偏序功能,取得了许多令人满意的定点结果度量空间(见[3- - - - - -10])。
本文的目的是概括的结果(3- - - - - -10)一般拓扑空间。在适当的假设下,我们证明了集值单调映射的几个不动点定理和半序集值映射Caristi-type分离拓扑空间,这的确扩展和提高许多最近的结果在度量空间的设置。
2。主要结果
让豪斯多夫拓扑空间,让是一个偏序。为每一个,让,让。
让是一个非空的子集和,在那里表示所有的非空的子集的家庭。增加在,如果每个与和每个,存在这样;是quasi-increasing,如果每个与和每个,存在这样。紧凑的价值在,如果紧凑为每个。如果为每个Caristi-type映射,,存在这样。
让的逆矩阵偏序。很明显,增加在关于如果是quasi-increasing关于。
在本文中,我们提出以下假设: 为每个完全有序集,存在一个序列这样,每与,存在一些这样; 为每个完全有序集,存在一个序列这样,每与,存在一些这样; 为每个增序列存在子序列和一些这样; 对于每一个递减序列存在子序列和一些这样; 为每一个与为每一个,如果存在一些这样和,然后; 对于每一个序列与对于一些和每个,如果存在这样,然后; 存在一个功能这样
定理1。让豪斯多夫拓扑空间,让是一个偏序,让。假设,,感到满意。如果存在这样,增加和紧凑的价值吗。然后有一个最大不动点的;也就是说,让是一个固定的角度在这样,然后。
证明。让
很明显,非空的,因为。我们将证据分为四个步骤。
步骤1。我们表明,抓住。让是一个任意增序列。通过存在子序列和一些这样
让在(4),然后我们有;也就是说,自为每一个。对于任意给定的,我们有因此通过。此外的任意属性力量:
自,存在这样
由(5),和财产的增加在,存在这样为每一个。这在一起(6)意味着
自紧凑的价值在,然后紧凑,因此存在一个子序列和这样
请注意,为每一个,然后由(4),(8),,我们有。这意味着所以自。因此抓住。
步骤2。我们表明,每个增加序列有上限吗。自抓住步骤1,存在一个子序列和一些这样
注意,对于任意给定的,对所有,然后由(9),我们有。此外的任意属性部队为每一个;也就是说,是一个上限的。
步骤3。我们表明,每个完全有序集有上限吗,在那里是一个有向集。
如果存在这样,然后是一个上限的因此证明完成为止。因此我们可以假设为每一个。通过,有一个序列这样存在这样
集
请注意,完全是命令,然后呢是定义良好的,越来越序列对所有。步骤2,有上限吗;表示通过。此外,(10)和(11),
这意味着是一个上限的。
步骤4。我们表明,有一个最大不动点的。佐恩引理,有一个最大的元素;也就是说,对于每个与,我们必须有。自,存在这样。此外,增加的属性在,存在这样。这表明因此。最后的极大性在意味着;也就是说,是一个最大不动点的在。证明已经完成。
定理2。让豪斯多夫拓扑空间,让是一个偏序,让。假设,,感到满意。如果存在这样,quasi-increasing,紧凑的价值。然后有一个最小不动点在吗;也就是说,让是一个固定的角度在这样,然后。
证明。让的逆矩阵偏序。很明显,和方面感到满意吗通过和。集和。很明显,,,,增加和紧凑的价值吗。应用定理1在,我们发现有一个最大不动点对应于。让是一个固定的角度。如果,然后因此的极大性对应于;也就是说,的最小不动点吗在对应于。证明已经完成。
例3。让与通常的指标为每一个和通常的订单为每一个。很容易检查感到满意。
让被定义为
很明显,越来越映射和紧凑的价值吗。请注意,和;然后通过定理1,有一个最大不动点。
让被定义为
很明显,是一个quasi-increasing映射和紧凑的价值吗。请注意,和;然后通过定理2,有一个最小不动点。
下面的定理扩展原始Caristi分离拓扑空间的结果。
定理4。让豪斯多夫拓扑空间,让是一个偏序。假设,,感到满意。那么每个集值Caristi-type映射有不动点。
证明。在类比到步骤2的证明定理1,通过和每个增序列,我们可以证明有上限吗。因此以下步骤3在定理的证明1,每一个完全的命令链有一个上限。此外,佐恩引理,有一个最大的元素;表示通过。注意,存在一些这样;然后的极大性因此是一个不动点的。证明已经完成。
下面的引理表明的条件和不是很难得到满足。
引理5。让是一个非空的设置,让是一个偏序。如果很满意,下面有界(分别地。上有界)(职责。)是满意的。
证明。我们只显示满意,和其他情况的证明是相似的。
让是一个完全的有序集合,在那里是一套指示,准备好了吗。请注意,下面有界;然后存在,所以存在一个子集的这样
让是一个这样的元素;然后通过。假设为每一个。通过,为每一个,因此,我们有由(15)。这是一个矛盾,所以存在一些这样
这表明是满意的。证明已经完成。
注6。它遵循从引理5这个定理1- - - - - -4仍然有效,(职责。)被替换为前提是下面有界(分别地。上有界)。
3所示。应用程序度量空间
在本节中,我们将显示,大部分的定点结果在度量空间的设置3- - - - - -10)可能是来自定理1- - - - - -4。
让是一个度量空间,让是一个偏序。我们列表中使用的条件3,6,9,10)如下: 是一个连续、不减少的和次加性(例如,为每一个)函数与; 存在一个功能和一个函数与这样为每一个与,在那里是一个partialorder; 为每一个,订单间隔关闭; 为每一个,订单间隔关闭; 不减少的。
注7。(我)很容易检查,,。
(2)让是一个关系定义为
在哪里和。它遵循从[3引理4.1]引入了(17)是一个偏序前提是是满意的。很明显,部分订单在引入了(17)当然是一个偏序等因此,满意吗是满意的。
引理8。让完备度量空间,让是一个偏序。假设和感到满意。然后(我)如果下面是有界的,然后呢是满意的;(2)如果上面是有界的,然后呢是满意的。
证明。(我)让是一个增序列。这就可以证明是一个柯西序列。否则,如果存在一个增加子序列和这样
然后和,我们有
这意味着实是一个递减序列,因此收敛自下面是有界的。此外,(19),我们有
让,通过我们有,这是一个矛盾。因此,是一个柯西序列。
(2)让是一个递减序列。这就可以证明是一个柯西序列。否则,如果存在一个减少子序列和这样,(18)是满意的。然后和,我们有
这意味着越来越的实数序列,因此收敛自上面是有界的。此外,(21),我们有
让,通过我们有,这是一个矛盾。因此,是一个柯西序列。证明已经完成。
推论9。让是一个完备度量空间,让是一个偏序,让。假设感到满意,下面是一个有界(分别地。,bounded above) functional, there exists这样(职责。),增加(分别地。,quasi-increasing) and has compact value on(职责。)。然后有一个最大不动点(职责。a minimal fixed point)。
推论10(见[6定理5])。让是一个完备度量空间,让是一个偏序。假设,,感到满意,是一个有下界的功能。那么每个集值Caristi-type映射有不动点。
在类比的证明(6引理1],我们可以证明下面的引理(i)的评论7。
引理11。让完备度量空间,让是一个关系引入了(17)。假设是满意的。然后(我)如果低semicontinous上,然后是满意的;(2)如果在上半,然后是满意的;(3)如果是连续的,那么是满意的。
推论12。让是一个完备度量空间,让是一个关系引入了(17),让。假设是满意,下面是一个持续的和有界(分别地。,bounded above) functional, there exists这样(职责。),增加(分别地。,quasi-increasing) and has compact value on(职责。)。然后有一个最大不动点(职责。a minimal fixed point)。
推论(见[133定理4.2])。让完备度量空间,让。假设是满意,是一个较低的半连续和有下界的功能,为每个,存在这样。然后有不动点。
备注14。(我)定理3和4 (8)是必然结果的特殊情况12与。
(2)注意,每个单值映射自然有紧凑的价值。然后两定理1和2 (i) (10)立即遵循从推论9定理2 (9是直接来自推论12。此外,如果,那么必然的结果12减少到定理3和4 (7]。
评论15。它遵循从备注26],广义Caristi的不动点定理获得了冯和刘3],Khamsi [4),和李5)相当于原始Caristi的结果(1和所有的相关结果3- - - - - -5可以得到的推论10;相反,推论10不可能来自[的结果3- - - - - -5]。因此,定理4的确提高了结果(3- - - - - -6]。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
作者的贡献
作者贡献了在获得新的结果摘要。所有作者阅读和批准了期末论文。
确认
中国自然科学基金支持的工作是(11161022),江西省自然科学基金(20114 bab211006, 20114 bab201015),江西省教育部门(GJJ12280 GJJ13297),和程序的优秀青年人才JXUFE (201201)。