文摘
提出了一种分数阶系统复杂的变量。首先,系统的动力学包括对称、平衡分,混沌吸引子,分岔与系统参数的变化和导数顺序进行了研究。的路线包括切和倍周期分岔导致混乱。然后,基于分数阶系统的稳定性理论,为分数阶复杂系统同步的方案。通过设计合适的控制器,实现了系统的同步。进行数值模拟,证明了该方案的有效性。
1。介绍
分数微积分视为integer-order微积分的推广可以追溯到17世纪。最近,它已经吸引了许多研究者的兴趣描述实际问题的能力。此外,丰富的动力学等混乱和分歧存在于许多分数阶系统(1- - - - - -3]。与此同时,与integer-order混沌系统相比,更加复杂的分数阶混沌系统动力学特性和更多的系统参数可以提供更高的安全通信的安全(4,5]。
混沌同步近年来吸引了越来越多的利益,提出了1990年(6]。同步integer-order系统在现实空间和复杂的空间已经被广泛的研究和一些方法扩展到同步分数阶复杂系统(7- - - - - -9]。应该注意的是,分数阶混沌系统与复杂的变量(变量)的数量翻倍可以用来增加信号传输信息的内容,进一步提高他们的安全。因此,它是一个有趣的和有意义的主题研究人员研究分数阶复杂非线性系统的动力学和同步。与此同时,混乱和同步离散分数阶系统已经详细调查(10- - - - - -13]。
出于上述的讨论,提出了一种分数阶系统复杂的变量。系统的动力学包括对称、平衡分,混沌吸引子,周期轨道,和分岔与系统参数的变化和衍生品的订单进行了研究。此外,基于分数阶系统的稳定性理论,为分数阶复杂系统同步的方案,和数值模拟是用来证明了该控制方案的有效性和可行性。
本文组织如下。节2,分数微积分的定义和数值算法。节3提出了分数阶系统与复杂的变量。并详细研究了系统的动态行为。节4,同步系统的调查。最后,我们总结的结果部分5。
2。部分运营商和他们的近似
2.1。定义
至少有六种不同的分数阶导数的定义。三个最常用的是Grunwald-Letnikov定义和Riemann-Liouville和卡普托定义(14]。
Grunwald-Letnikov定义(GL)与分数阶导数表达的是 的象征意味着整数部分。
Riemann-Liouville (RL)的定义部分衍生品所描述的 在哪里是伽玛函数。
卡普托()分数导数定义如下:
众所周知,分数微分方程的初始条件与卡普托衍生品承担相同的形式作为integer-order的这些,非常适合实际问题(15]。因此,我们将使用卡普托定义部分衍生品。
2.2。数值算法
由于非定域性的性质,分数导数的运算符是更复杂的比经典的导致获得解析解的困难。然而,数值解可以让我们研究这类衍生品更好。
现在,有两种近似方法,经常可以用于数值计算分数微分方程。一个是Adams-Bashforth-Moulton算法的一个改进版本(16- - - - - -18]。另一个方法,称为频域近似(19),基于数值分析分数阶系统在频域。和前已被广泛认可的可靠性。因此,我们采用改进的预估分数阶微分方程算法。
为了得到一个分数阶混沌系统的近似解的算法改进的预估,下列方程是: 在哪里只是一个价值四舍五入到最接近的整数是普通的的导数。公式(4)相当于沃尔泰拉积分方程 现在,为了简单起见,我们假定我们正在一个统一的网格与一些整数并设置。使用标准正交积分技术(5),表示积分是梯形求积公式取代点: 在哪里的分段线性interpolant吗与节点和节选择,。一些基本的计算后,右手边的6)给 如果我们使用产品矩形规则,右边的6)可以写成 在哪里 然后预测和校正公式求解5分别给出)
3所示。分数阶动力学的复杂的系统
提出了一个三维混沌系统在20.),详细系统的动力学行为进行了研究。该系统可以通过下面的微分方程来描述: 在哪里系统的状态变量向量和吗,,是参数。系统拥有一个吸引子当参数如下:,,。
在本文中,我们假设系统的状态变量(12)中定义的复杂的领域,分数导数订单。那么相应的分数阶系统被定义为 在哪里导数秩序和吗是状态变量的向量。,是复杂的变量,是真正的变量,然后呢。那么复杂的变量分为实部和虚部,分别。由于卡普托的线性微分算子,系统(13)可以表示为
系统(14)更方便比系统(13)进行分析和数值模拟。当系统参数作为,,和秩序的导数,最大李雅普诺夫指数的数值计算,这意味着系统(14)是混乱的。在不同的相空间预测的混沌吸引子图所示1。
(一)
(b)
3.1。对称和均衡分
首先,系统(14)是对称的,因为转换 这允许系统(14),是所有值的参数变换不变量。和转换也意味着系统是对称的- - - - - -;也就是说,是系统的一个解决方案(14)如果是它的一个。
现在,我们将探讨平衡系统的点(14),它可以通过求解方程获得,。因此,平衡 在哪里和。平衡存在的条件是满意的。
3.2。分支,
首先,导数是作为和修正的参数和。系统的分岔(14)作为参数不同的描绘在图吗2。从分岔图,很明显的减少从7.5有一个极限环长直到发生倍周期分岔参数区域。系统,路线是一系列倍周期分岔导致混乱。时可以观察到倍周期分岔属于间隔和。阶段肖像图所示3,从中我们可以看到,系统存在周期是1,第二阶段对不同的参数值。
(一)
(b)
其次,系统的动力学14不同的参数)将调查时,,。系统的分岔(14当参数是不同的从10到125年获得的数值计算,这是描绘在图吗4。很明显,减少的参数系统的路线从混乱中是通过切分叉时。然后两个极限环直到发生倍周期分岔共存。通过一系列倍周期分岔,系统进入混沌。
第三,系统的动态行为作为参数变化时将研究其他系统参数作为,和导数秩序。系统的分岔图(14)与参数描绘在图5。切分叉时发生。可以看到和倍周期分岔。
众所周知,导数的顺序是重要的参数之一,在分数阶系统的动力学分析。因此,分岔图和导数的顺序与参数,,在接下来的研究。
分岔图和顺序闭区间上变化系统(14)是描绘在图6(一)。倍周期的演化场景和切分叉可以很容易地观察到图中所示。为了看得清楚,当地图6(一)是放大,如图6 (b)。与此同时,以验证系统的混沌行为,相应的最大李雅普诺夫指数(简称米歇尔)图0.1的步长小数据集的算法(21,22)如图6 (c)。
(一)
(b)
(c)
4所示。同步
在本节中,分数阶复杂系统同步(14)将研究。
4.1。同步的方案
分数阶复杂系统的同步方案。驱动和响应系统,分别如下: 在哪里和的导数订单系统(17)和(18),分别。和驱动和响应系统的状态复杂向量,和复杂的变量可以定义为和,。非线性向量函数和是连续的。是一个同步控制器将之后设计的。
误差向量定义为和同步驱动和响应系统实现是否满足以下条件: 在哪里是欧几里得范数。为了方便起见,错误矢量写成,,。
然后,为响应系统(18),我们需要定义一个补偿控制器 和一个同步控制器 在哪里是一个矢量函数,将设计后同步的实现。
用控制器(20.)和(21)进入反应系统(18),我们可以得到误差动力系统如下: 为简单起见,被选为和系统(22)是写成 然后,系统(23)渐近收敛于零误差矢量趋于0时。
定理1。给定一个分数阶系统(17),通过设计一个控制向量这样之间的同步(17)和(18)可以实现,如果以下条件满足 在哪里和是真实的对称正定矩阵,,代表矩阵的共轭转置。
证明。错误的动力系统(23),假设是一个矩阵的特征值和对应的非零特征向量;也就是说,
乘以上述方程留下的,我们获得
然后,通过一个类似的观点,我们也可以
从(26)和(27),我们得到
自和和对称正定矩阵是真实的呢
从上面的公式,我们获得
根据分数阶系统的稳定性理论,错误动力系统的平衡点(23)是渐近稳定的。因此,同步状态很满意,这意味着实现驱动和响应系统之间的同步。完成证明。
4.2。数值模拟
系统(14)被认为是驱动系统与控制器和相应的反应系统 在哪里和是复杂的变量和是真正的变量,然后呢。系统(31日)可以表示为 同步误差向量为 在哪里和。
通过计算,我们可以得到的如下: 通过使用这个定理,矩阵被设计为 因此,错误的动力系统 选为实对称正定矩阵;然后,
因此,另一个实对称正定矩阵是作为和表达式(37)可以写成
根据这个定理,同步驱动系统(14)和响应系统(32)是实现。
的值的参数驱动和响应系统作为,,。导数的两个系统的订单。两个系统的初始条件和,分别。仿真结果图进行描述7,很明显,误差变量,,,,收敛到零,这意味着实现驱动和响应系统之间的同步控制器。
5。结论
在这篇文章中,分数阶系统复杂的动力学和同步变量进行了调查。动力学包括对称、均衡分,混沌,分岔与系统参数的变化和衍生品订单。除此之外,基于分数阶系统的稳定性理论,为分数阶复杂系统同步的方案,进行了数值模拟,证明了该控制方案的有效性和可行性。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
承认
作者非常感激的匿名评论者的评论导致论文的改进。