文摘
我们建立一个新类的一些公共不动点的结果对收缩映射函数作为收缩参数,并满足极小非交换运营商财产。
1。介绍和预赛
度规不动点理论有一个巨大的文学;Banach-Caccioppoli收缩原则是其中最杰出的结果这一理论。出现以来,一些概括的结果出现在文献中。1976年,Jungck [1]推广这一原则通过考虑两个换向映射,证明了这些映射的公共不动点定理。后来的交换属性映射由Jungck一直放松通过引入“软弱”替代概念弱交换性,(非)兼容性,R-weak交换性,和弱的兼容性,等,使得扩展几个著名的不动点定理李普希茨对类型的映射。
在这里,我们要建立公共不动点的存在性和唯一性结果一双非常数的压缩型映射的压缩参数及其收缩不平等是由积极的控制函数满足稳定条件(0)(见(11))。特殊情况下,我们的结果是有效的,如果我们控制提到使用著名的不等式改变距离函数(2]。达到我们的目标,我们将假设弱相容映射在考虑,这是一个最小noncommuting收缩映射类型对概念。同时,另外,我们将假定一对映射满足e . a .财产和一些强大的条件财产。
为了建立我们的结果需要以下概念。一双self-mappings在度量空间据说是兼容的(3当且仅当,每当是这样的, 对于一些。一对映射会说吗不相容如果有出口至少一个序列这样对于一些,但非零或者是不存在的。一双self-mappings据说满足吗财产(电子艺界)[4如果存在一个序列这样 对于一些。
一双self-mappings据说满足吗常见的限制范围内 财产(简而言之)[5如果存在一个序列这样 对于一些。它可以观察到财产避免亲密的条件的要求所涉及的范围的映射。
如果是一个度量空间self-map然后一组被称为轨道的在和被称为轨道连续如果意味着(6]。
如果和度量空间是self-maps如果是一个序列这样,然后一组被称为轨道在 和和被称为轨道连续如果意味着和。
一个点被称为巧合点(CP)和如果。巧合的集合点和将用。如果,然后被称为的巧合(POC)和。
一对映射据说是非平凡弱相容(7),当意味着。最后,一对映射据说是偶尔弱相容(油水界面)8如果存在一些这样。
备注1。我们想表明,兼容性是一个必要的疲软,因此最小,条件收缩类型映射的公共不动点的存在对。假设和是一双收缩型self-mappings度量空间有一个公共不动点;然后和。如果可能的话,假设和不弱相容。那么存在一个点在这样而;我们因此有和与。这是不可能的收缩情况。例如,如果和满足收缩状态
然后我们得到
一个矛盾。
这表明弱兼容性是必要的,因此最小,条件收缩类型映射的公共不动点的存在对。
以下结果由于先生和Sailaja (9在续集)将是有用的。
引理2。让是一个度量空间。让是一个序列这样 如果不是一个柯西序列,那么存在一个和积极的整数序列和与 这样 和(我) ,(2) ,(3) 。
2。对映射的类与非恒量的收缩参数
为了介绍类的映射将本文的研究的重点,在[10),我们将使用功能满足,,尽管,
现在,我们介绍下面的类对收缩类型的映射。
定义3。让是一个度量空间,让被映射。这一对被称为如果所有收缩一对 在哪里是函数满足条件(9),是一个连续函数满足呢
命题4。让和是两个self-maps度量空间。让一个假设是一个收缩。如果和有POC那是独一无二的。
证明。让是一个POC的一对。然后退出这样。对一些人来说,假设,与。然后,通过(10)我们有 由此可见, 因此,我们得到 这是一个矛盾。因此,。
命题5。让是一个度量空间,让被映射。如果两人是一个收缩,然后对任何,序列定义为 满足(1) ;(2) 是一个柯西序列 。
证明。证明(1)是一个任意点。自,然后存在这样。继续这个过程归纳我们获得一个序列在这样
现在,我们有
由此可见,
因此,我们获得
一起,(9),我们得出这样的结论:
因此,不减少的序列,有下界的零,所以收敛吗。现在,如果然后通过两边的不平等有矛盾。因此,。现在,从条件(11我们得出这样的结论:。
证明(2),我们将假设不是一个柯西序列。然后,从引理2存在和序列和与这样
我们以这种方式
这是一个矛盾;因此,是一个柯西序列。
3所示。在公共不动点的存在性和唯一性
在本节中,我们证明我们的主要结果有关公共不动点的存在性和唯一性收缩的映射没有连续性的要求。
定理6。让和self-maps在完备度量空间这样(我)
;(2)这一对是一个收缩。
然后,(1)这一对有一个独特的POC;(2)如果和轨道连续,如果是一对吗是兼容的,那么和有一个独特的公共不动点。
证明。让,中定义的柯西序列的命题5作为证明,满足了吗。自完成,存在一个点在这样
兼容性和轨道的连续性和暗示;因此POC的和。从命题4我们得出这样的结论:POC是独一无二的。
另一方面,由于对兼容和兼容的映射通勤的重合点,。使用(ii),我们得到的
也就是说,。因此,,对的公共不动点吗。接下来的公共不动点的唯一性。
定理7。让和是self-mappings度量空间这样(我)
;(2)
是一个完整的子空间的;(3)这一对是一个收缩。
然后,(1)这一对有一个独特的POC;(2)如果两人非平凡弱兼容呢和有一个独特的公共不动点。
证明。让,中定义的柯西序列的命题5作为证明,满足了吗。自是一个完整的子空间的,然后存在这样 因此我们可以找到这样。现在,我们假设。然后, 让,我们获得 这是一个矛盾;因此;因此POC的和。定理现在是容易使用的参数与已使用的相应定理的一部分6。
定理7也是如此,如果我们更换条件(i)和(ii)(定理7)的一个条件。在接下来的定理表示关闭映射的范围。
定理8。让和是self-mappings度量空间这样(我)
;(2)这一对是一个收缩。
然后,(1)这一对有一个独特的POC;(2)如果两人非平凡弱兼容呢和有一个独特的公共不动点。
备注9。注意,在公式7我们不能取代非平凡弱相容映射通过油水界面。事实上,在收缩的定理6假设油水界面和一个独特的公共不动点的存在是等价的条件。看到这,首先假设和满足收缩定理的条件6以上。如果和有一个公共不动点,说什么,然后,和因此,油水界面的映射。另一方面,如果和油水界面的映射,这样吗和对于一些然后,使用收缩条件,我们得到 也就是说,。自收缩条件不包括两个重合点的存在为和,我们得到。这意味着是一种常见的不动点的和。因此,前一个应该很小心使用任何收缩条件下油水界面(见,11])。
定理10。让是一个度量空间非平凡弱相容映射满足房地产(电子艺界)。让一个假设是一个收缩。如果是封闭的,那么和有一个独特的公共不动点。
证明。自两人满足属性(电子艺界),那么存在一个序列这样 对于一些。自是封闭的,那么和对于一些。在定理的证明7,我们可以证明这独特的POC吗和。其余的定理的证明之前,定理6。
备注11。因为两个不相容self-mappings度量空间满足属性(电子艺界),然后定理的结论10如果我们认为仍然有效和不相容self-mappings。
在下一个定理我们下降的范围映射的亲密和替换属性(电子艺界)财产。
定理12。让是一个度量空间满足财产。让我们假设是一个收缩。如果两人非平凡弱兼容呢和有一个独特的公共不动点。
证明。自两人满足属性,那么存在一个序列这样
对于一些。
其余的定理的证明是容易。
4所示。控制通过改变距离的功能
1976年,Delbosco [12)发起的研究不动点为收缩条件使用改变距离函数;然而,他的研究仅限于一些幂函数。随后,他的结果是延长Skof13]和汗等人[2)在1977年和1984年,分别。自那时以来,它已被用于解决度量不动点理论的几个问题(见,例如,14- - - - - -21])。
定义13。一个函数被称为一个改变距离函数如果满足以下属性:
当且仅当;
是单调不减少的;
是连续的。
通过我们要表示所有改变距离函数的集合。
由于每个不减少的地图满足(11)(但反过来并非如此),那么所有先前的结果是有效的,特别是如果我们替换函数满足的条件(11)改变距离的功能。
另一方面,在2002年,Branciari [22]扩展Banach-Caccioppoli定理使用一些勒贝格可积的函数。自那时以来,一些著名的不动点的标准收缩已经广义这样类型的映射。见,例如,(5,10,16,17,23- - - - - -27)和大量的引用。2009年,Jachymski [28)显示,大多数压缩条件的积分型由许多作者仅仅是古典的后果已知的(见[28)和引用)。
通过所有映射的集合来标示满足下列条件: 勒贝格可积映射是可和在每一个紧凑的子集; 是负的; 为每一个,。
引理14。为每一个,函数定义为,是这样的,。
通过这种方式,另外的类收缩对,我们可以考虑一种把映射满足下列不等式收缩的积分类型: 对所有,在那里,,功能满足(9)。由于这类可以写成 对所有,在那里引理中定义的函数吗14,那么我们所有给出的结论自动收缩对有效的映射满足不等式收缩(31日)。
5。结论和例子
注意,由于小限制所涉及的功能的类的定义收缩对和的最小的交换需求的映射,我们的研究结果扩展类的几个不动点定理知名收缩类型的映射,包括各种类型的收缩映射与不平等控制通过改变距离函数以及压缩映射的积分型。甚至更多,映射和认为不一定是连续的,所以以这种方式一般比较我们的结果与其他在这方面的研究结果。
接下来,我们将展示一些例子来支持我们的结果。
15例。让配备了欧几里得度量。我们考虑下面的映射:定义为和对所有。让定义为和对所有和给出的公式,。
请注意,和功能满足条件(9);还要注意,和是一个完整的子空间的。此外,不难证明两人是一个收缩。除此之外,和,这意味着非平凡弱是兼容的。然后,定理7保证独特的公共不动点吗和。
示例16。在之前的例子中,与通常的指标。我们定义self-maps在通过 和对所有。让定义如下: 让定义为,。然后,两人是一个收缩对满足定理的假设6;因此是独特的POC而且独特的公共不动点的和。
示例17。让与通常的指标。在这种情况下,我们考虑的映射定义为
让给出的公式,。给出的,,。请注意,和。此外,独特的POC吗和;因此,对非平凡弱是兼容的。另一方面,通过考虑序列,在,很明显,这两人满足财产(电子艺界)。最后,很容易显示,事实上的映射和满足所有定理的假设10,所以独特的公共不动点吗和。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者感谢的裁判非常有建设性的意见和建议,使论文的改进。e·m·罗哈斯是由Pontificia大学Javeriana下批准号000000000005781。