文摘
我们进行一些调查关于非线性积分方程的可解性Erdelyi-Kober类型。促进我们的研究我们将首先考虑Volterra-Stieltjes类型的非线性积分方程。自从提到Erdelyi-Kober积分方程是一个特例的Volterra-Stieltjes类型,我们可以应用结果Erdelyi-Kober积分方程。例子说明结果也将包括在内。
1。介绍
noninteger阶微分和积分运算符中发挥重要作用的几个分支应用数学、工程、物理、数学物理等等。提到的类型的微分和积分方程涉及运营商被称为分数阶方程(见[1- - - - - -4),例如)。这样的方程是用来描述非线性振动的地震,流体动态交通模型,并与部分媒体质量维度和它们用于粘弹性以及电化学理论,例如[1- - - - - -8]。也值得提及微分和积分方程也适用于生物学和经济学(2,4,7]。
我们本文的目的是研究所谓的非线性积分方程的可解性Erdelyi-Kober类型。让我们提到积分方程的类型可以用于描述广义灰色布朗运动的扩散过程。其他例子Erdelyi-Kober类型表示的积分方程(9),例如也(参看[10- - - - - -12])。
将在本文中使用的方法来研究Erdelyi-Kober积分方程的非线性积分方程取决于考虑一些类Volterra-Stieltjes积分方程的类型,提到Erdelyi-Kober积分方程变成Volterra-Stieltjes类型的积分方程的特殊情况。这种方法不仅可以让我们更方便地进行我们的调查也得到更一般的结果。
2。符号,定义,和辅助的事实
在本节中,我们收集表示法,定义,和辅助的事实将会利用在我们进一步考虑。在本文我们将表示实数集的时间间隔。如果是巴拿赫空间与规范和零元素,然后将表示关闭球为中心在哪里和半径。我们写表示球。
本文的调查将在经典的巴拿赫空间函数,在那里是单位时间间隔。显然,时间间隔可以被任何间隔。我们将假设空间具有标准的最大标准;也就是说,。
如果是一个任意函数的空间,那么符号表示函数的连续模吗中定义的标准方法: 对于任何。
进一步,我们回忆起一些事实关于有界变差函数(13]。
一开始我们假设是一个真正的函数定义在一个给定的时间间隔。然后,通过符号我们将表示函数的变化的时间间隔。如果变化是有限的,我们说吗有界变差的区间。在当和是一个任意区间的子区间,我们表示函数的变化的时间间隔,在那里是一个固定数量的间隔。同样我们定义数量。
其他事实关于有界变差函数可能被发现在13]。
如果和是两个真正的函数定义在区间,然后在一些附加条件下(13,14我们可以定义斯蒂尔吉斯积分(Riemann-Stieltjes意义上) 函数的关于函数。在这种情况下我们会说是斯蒂尔吉斯区间上可积的关于函数。
让我们注意到几个条件是已知的,保证斯蒂尔吉斯可积性(13- - - - - -15]。最常用的要求之一是连续的,有界变差。
进一步,我们将制定几个属性中包含的斯蒂尔吉斯积分前题(以下13]。
引理1。如果是斯蒂尔吉斯区间上可积的对一个函数有界变差
引理2。让斯蒂尔吉斯可积函数在区间对一个不减少的函数,这样为。然后,
后来我们也会考虑到斯蒂尔吉斯积分形式 在哪里和象征指示集成与尊重。有关细节的积分将这样的一种。让我们只提到积分(5)允许我们代表Erdelyi-Kober更为便捷的形式的积分方程的特殊情况下Volterra-Stieltjes积分方程(参见下一节)。
3所示。介绍性的事实有关Erdelyi-Kober积分方程
在本节中,我们提供了一些初步的事实有关Erdelyi-Kober积分方程的类型。这些方程的理论是由Erdelyi和科比的论文16- - - - - -18]。
Erdelyi-Kober类型可以提出的积分方程形式的奇异非线性积分方程的形式: 在哪里,,都是正的常数,,。此外,是伽玛函数。
这个方程可以写在一个更一般形式: (cf。12),但功能可以与函数这种方法允许我们将(7)的形式(6)。
注意,在(),我们变换(6)的形式 所以我们获得(与精度不变)Erdelyi-Kober积分方程的形式
接下来我们将考虑(6)将书面形式 为了简化调查我们将假定因为在这种情况下我们有。
特别是,这个条件是满意的。在这样一个假设上述方程可以被认为是在一个更方便的形式如下: 在哪里,,。
我们考虑的重点是观察到的分数阶积分方程Erdelyi-Kober类型(11)可以写成Volterra-Stieltjes类型的积分方程形式 的函数出现在我们的方程的形式 为。
事实上,我们有 因此我们看到,非线性Erdelyi-Kober积分方程(11)是一种特殊情况下的非线性Volterra-Stieltjes积分方程(12)。
这个观察非常重要在我们进一步的调查将进行下一个部分。
4所示。主要结果
本部分介绍研究的非线性Volterra-Stieltjes积分方程(12)。在我们的调查,我们将实施以下制定假说(cf。19])。(我) 。(2)这个函数是连续的三角形。(3)这个函数有界变差的区间,对于每一个固定。(iv)对于任何,存在这样,,与和,下面的不平等是适用的: (v) 对于任何。(vi) 是连续等了吗,尽管对于每个,在那里是一个不减少的函数。
为了制定我们最后的假设我们需要召回一些辅助事实来自[19)和有关的功能也(参看[20.])。
我们将假设满足的假设(2)- (v)制定。
我们从下面的引理。
引理3。这个函数 在间隔时间是连续的吗对于任何固定。
引理4。我们假设(2)- (iv)感到满意。然后,对于任意固定数量和任何,存在这样,如果,和,然后
引理5。在假设(2)- (iv)的函数 在间隔时间是连续的吗。
进一步,我们观察到基于引理5我们推断存在一个正的常数这样
现在,我们准备制定我们最后的假设。
(七)存在一个正解的不平等
论文的主要结果是包含在制定下面的定理。
定理6。在假设(i) -(七)至少存在一个解决方案(12)属于球空间的。
证明。让我们考虑到运营商在空间上定义在以下方式:
为对于任意固定。
然后,考虑到实施假设我们推断函数是定义良好的。
为进一步的目的,让我们证明更加透明,我们引入了两个函数和定义在以下方式:
观察到由于假设(iv)和引理4我们很容易得出和作为。
现在,选择任意一个函数和一些。接下来,修复这样。不失一般性,我们可以假设。然后,记住我们的假设和引理1和2,我们有
我们表示
进一步,我们观察到的函数的一致连续性在一组我们推断作为。此外,调用假设(i)和函数的性质和定义为(22),我们得出这样的结论:该函数在间隔时间是连续的吗。这意味着操作符转换为本身。
在下面,我们表明,该操作符在空间是连续的吗。为此修复任意一个数字并采取这样。然后,在视图的前题1和2任意固定我们获得
因此,表示由数量
并引入的符号
我们得到以下评估:
现在,应用函数的事实是均匀连续的吗,我们得出这样的结论:作为。结合这一事实与评估(27我们推断出操作员在空间是连续的吗。
进一步,我们解决任意。然后,应用前题1和2和争论如上所述,我们获得
现在,调用假设(七)我们推断出存在一个数字这样的运营商将球为本身。
接下来让我们选择一个数字。接下来,把任意数字这样和。然后,对于任意固定元素,针对估计(23),我们得到
然后,基于属性的功能,,,,从(29日)和Arzela-Ascoli标准相对密实度的空间,我们得出这样的结论:子集球的相对紧凑的空间。因此,应用Schauder不动点原理,我们得出结论:操作员至少有一个不动点吗属于球。显然,这个函数是一个解决方案(12)和完成的证据。
5。进一步讨论和一个例子
在本节中,我们讨论,首先,假设的适用性(iv)。观察这个假设(iv)似乎在具体情况中使用时很不方便。事实上,我们表明,该提到的假设可以被一个假设更方便,适用于使用如果我们考虑Erdelyi-Kober积分方程(11)。
也就是说,我们将利用以下假设。
(),任意这样这个函数nonincreasing间隔吗。
它可以显示(19)下面的断言。
定理7。让。如果函数满足假设(2),(),(v)满足假设(iv)。
现在,我们专注于研究Erdelyi-Kober积分方程的可解性(11)。正如我们指出的部分3,(11(的)是一个特例12如果我们假设函数的形式(13)。
在下面,我们表明,函数定义为(13)满足的假设(2)- (v)制定之前定理6。
为了证明这个论断,观察它是相当明显,功能定义为(13)满足假设(ii)和(v)证明满足(3),让我们注意到 对所有。这意味着函数是不减少的间隔并允许我们推断出函数定义为(13)满足的假设(3)。
证明有满意的假设(iv),修复任意的这样。考虑到功能定义的公式 为。然后我们得到 它很容易看到为它允许我们推断函数吗定义为(13)满足的假设()。
总结,我们得出这样的结论:该函数中定义的(13)满足假设(2)- (v)。
建立上述事实的基础上我们可以制定以下有关积分方程存在的结果(11)。
定理8。假设有满意的假设(i)和(vi),和下面的一个。
()存在一个正解的不平等
然后(11在空间)至少有一个解决方案属于球。
实际上,上面的定理是一个简单的结果之上建立事实有关的函数定义为(13)和定理6以及平等,在那里定义的常数(19)。
现在,我们说明我们的结果中包含定理8通过一个例子。
示例9。让我们考虑以下Erdelyi-Kober类型的非线性积分方程: 为。观察到这个方程可以改写的形式(11);也就是说, 请注意,(35()是一个特定的情况11如果我们把,,,, 现在我们确认上面的显示组件(35)满足定理的假设8。事实上,功能空间的一员吗和。进一步,我们有是连续的吗和下面的估计适用于任意的和: 这意味着函数满足的假设(vi)的功能在不减少的。进一步,我们考虑不平等(33),在我们的案例中有形式 或者同样的 让我们写上面的不平等更透明的形式: 然后,它是很容易看到的数字似乎是一个“足够”最优解不等式(40)。
定理的基础上8我们得出结论,(35在空间)至少有一个解决方案属于球。
备注10。值得提醒的是,这个术语出现在(11)和(12)没有意义在我们的考虑,可以包含在功能。然而,我们已经分开这个词,因为它将发挥一定的作用在我们的进一步研究非线性Erdelyi-Kober积分方程考虑空间函数上定义的半轴。
细节将会出现。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。