文摘
我们建议当地部分函数分解方法,它来源于当地的分数傅里叶级数和的耦合方法Yang-Laplace变换。当地的分数微分方程的形式的解决方案。一些例子给出非齐次波动方程显示的精度和效率提出了技术。
1。介绍
分数微分方程具有任意订单(1吸引了越来越多的关注他们在各领域的广泛应用,如物理、应用数学、生物(2- - - - - -8]。因此,大量的开发方法为解决分数微分方程(9- - - - - -21),如热平衡积分法(9,10),同伦分析方法(11),变分迭代法(12),同伦分析方法(13,14],和Adomian分解方法[15,16]。
分数微分方程的意义上被认为是卡普托导数,Riemann-Liouville导数,Grunwald-Letnikov导数(17]。然而,他们不处理nondifferentiable函数定义在康托尔集。当地的分数导数(18,19)是最好的方法来描述nondifferential问题定义在康托尔集。例如,产生的热量方程研究了分形瞬态传导(19- - - - - -22]。亥姆霍兹和扩散方程在康托尔集在当地分数导数进行了讨论(23]。navier - stokes方程提出了康托尔集(24]。有一些方法来解决当地的分数微分方程,如当地的分数变分迭代法(20.],[Yang-Fourier变换21],[Yang-Laplace变换22),当地的分数傅里叶级数法(25),和当地部分Adomian分解方法(26]。
在本文中,我们的目标是向当地的耦合方法部分系列方法和Yang-Laplace变换,也就是当地的部分函数分解方法,并使用它来解决与当地分数微分方程的导数。手稿的组织如下。节2介绍了基本数学工具。节3,当地部分函数分解方法求解微分方程与当地分数导数是研究。节4,几个例子。最后,在节5给出了结论。
2。数学基础知识
在本节中,我们介绍当地的基本概念部分连续性,当地分数导数,当地的分数傅里叶级数,和特殊函数在分形空间18,19),用于。
定义1。假设有(19] 与,因为和;然后被称为当地部分连续吗它用。
定义2。假设函数满足条件(1),;它是所谓的地方分数连续区间,用
定义3。在分形空间,让,当地的分数阶导数的订单在是由(19] 在哪里。
当地部分高阶的导数和本地部分偏导数的定义,分别以下列形式(18,19]:
定义4。在分形空间中,莱弗勒Mittage函数、正弦函数、余弦函数、双曲正弦函数和双曲余弦函数,分别定义为(18,19]
定义5。让是周期。为和,当地的分数傅里叶级数被定义为(见[18,25]) 在哪里 是当地的分数傅里叶系数。
定义6。让。Yang-Laplace转换的是由(18,22] 后者积分收敛和在哪里。
定义7。逆Yang-Laplace变换的公式是由(18,22]: 在哪里;分形虚数单位和。
3所示。当地部分函数分解方法
在本节中,我们将介绍当地的部分函数分解方法。
首先,我们介绍当地的分数微分方程 用常量,,,边界和初始条件 现在我们讨论的解决方案(10)。
根据当地的部分函数的分解,对系统可以由以下功能系数 在哪里 用(12)(10)意味着 假设Yang-Laplace转换的功能和是和,分别。然后我们获得 这是 因此,我们有 让 因此,我们得到 然后,利用(8)和(9)和重新整合序列,我们有以下几个公式和。
(我)的假设 在哪里
然后,我们得到 当 我们得到了
(2)如果 然后我们有 当 我们到达
(3)让 在哪里。
然后,我们有 当 我们获得 上述结果所需的解决方案。
4所示。说明性的例子
为了说明上述结果部分3,我们给下面的几个例子。
例1。当地部分拉普拉斯微分方程写在下列表格(18,19]: 被描述的边界和初始条件 从(33),最终的解决方案可以很容易地推导出如下:
例2。我们考虑下面的非齐次波动方程与当地分数导数: 边界和初始条件 为了找到自己的解决方案,我们假设 导致 对比(37)和(35),我们直接得到 根据(30.)和(32),我们可以推出 最终,我们得到 因此,我们获得
例3。非齐次波动方程与当地分数微分算子是用以下形式: 边界和初始条件是所描述的 为了找到解决方案的46),我们组 因此,我们得到 让 利用(21)和(23),我们可以写 当 我们获得 最终,我们到达 因此,我们获得的解决方案(46)以下形式:
例4。非齐次波动方程与当地分数微分算子是书面形式 并给出了边界和初始条件如下: 让 我们可以写 显然,我们有 从(25)和(27我们获得 因此,nondifferentiable解决方案(56)读
5。结论
在这个工作我们提出了当地部分函数分解方法。应用程序的方法求解非齐次波动方程与当地分数导数进行了较为详细的试验研究。这项新技术是一种有效的数学工具,科学家们应对当地的分数微分方程。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关。
确认
这项工作是由中国国家自然科学基金(没有。609040410),河南省的基础和先进的技术研究项目(112300410300),和南阳师范大学(NYNU200749)。