文摘
我们构建一个变量系数变异布西涅斯克系统的守恒定律,这是一个三阶系统两个偏微分方程。这个系统没有拉格朗日,所以我们将其转换为四阶系统,承认一个拉格朗日。Noether的方法是利用获得的守恒定律。最后,提出了守恒定律的原始变量。无限数量的本地和外地底层系统的守恒量是派生。
1。介绍
第一种变体布西涅斯克方程(1,2)是由 并介绍了水波模型(3]。王在他的论文(4)获得了((孤波解的1)和(1 b利用齐次平衡法)。的周期波解(1)和(1 b)在[派生5)拟设方法和[multisolitary波解得到6利用齐次平衡法)。徐et al。7)获得的行波解(1)和(1 b))。(守恒定律(1)和(1 b)在[派生8]。
守恒定律解决方案过程中发挥了重要作用的微分方程(DEs),因为他们描述物理特性保持不变在各种过程发生在物质世界。因此它是非常重要的计算微分方程的守恒定律。你可以看到从各个发表论文(见,例如,9- - - - - -11])守恒定律已经被用于研究存在,唯一性和稳定性的非线性偏微分方程的解决方案。他们也被应用在开发和使用数值方法(见,例如,12,13])。最重要的是,保守向量与谎言点对称性被用来推导一些偏微分方程的精确解14- - - - - -16]。
在本文中,我们研究了变系数变异布西涅斯克系统: 给出系统(1)和(1 b))。在((2)和(2 b)),,,是任意的函数,描述不同的扩散强度,代表的水平速度,代表振幅描述偏离平衡位置的液体。
本文组织如下。节2我们简要地给预赛有关Noether对称性的方法。部分3获得系统的守恒定律(2)和(2 b))。最后,在节4结束语。
2。预赛
这里我们提出的一些重要特性Noether运营商关于两个偏微分方程的系统。这些结果将利用部分3。读者被称为(8,17- - - - - -19为进一步的细节。
考虑到向量场 二阶的延长 在哪里 与 定义的欧拉运营商 考虑两个偏微分方程组的两个独立的变量,和,即 有二阶拉格朗日吗;也就是说,(8)和(8 b对欧拉方程)是等价的:
定义1。向量场的形式(3),被称为Noether算子对应的拉格朗日((8)和(8 b)如果 对一些测量功能和。
我们回忆起下面的定理。
定理2 (Noether [17])。如果在(3),是一个Noether对称发电机对应一个拉格朗日点(8)和(8 b),那么向量与组件, 是一个保守向量为((8)和(8 b与运营商相关),在那里和是谎言特征函数。
3所示。系统(守恒定律(2)和(2 b))
考虑变系数变异布西涅斯克系统((2)和(2 b));也就是说, 这里我们注意系统((2)和(2 b)不承认一个拉格朗日。然而,我们可以变换系统(2)和(2 b)变分形式通过设置和。因此,系统((2)和(2 b)),这一转换,变成了一个四阶系统,即 一个二阶拉格朗日 替代的价值从(14)(10)和分裂的衍生品和收益率pde的线性超定的系统;即 经过一些繁琐而冗长的计算,上述系统产量 分析(17),(18)和(19)提示下面的两个例子。
案例1。
,,是任意的,但不是这样的形式包含在吗2。
在这种情况下我们得到四个Noether对称点。这些是下面加上相应的测量功能:
调用定理2,这四个重要的保守向量与这四个Noether点对称性有关,分别
从上面我们观察到守恒的向量(24)- (25)是一个本地守恒的向量。在(30.)- (31日)可以看到,括号内的外地部分给出了微不足道的守恒的向量的一部分,因此可以设置为零。因此,保守向量(30.)- (31日)是一个本地守恒的向量。这也是有趣的注意,守恒的向量(26)- (27)和(28)- (29日),,,收益率当地保守向量:
备注3。我们为任意值的注意和无限多的外地守恒定律存在的变系数变异布西涅斯克系统。
例2。
,,,在那里,,是常数。
这种情况下给了我们5个Noether点对称性,即,,,由发电机(20.)- (22),,给出的
定理的应用2,由于Noether,给出了五个重要的保守向量:
分别对应于上述五Noether对称点。我们注意到,在这种情况下,我们获得一个额外的Noether运营商,因此额外的守恒的矢量,这是由(40)- (41)。
备注4。当,我们在[恢复结果8]。
4所示。结束语
在本文中,我们研究了变系数变异布西涅斯克系统(2)和(2 b))。这个系统没有拉格朗日。因此我们转换到一个四阶系统(13)和(13 b)具有拉格朗日。此后,我们利用诺特定理构造系统的守恒定律(13)和(13 b))。最后,通过恢复回原来的变量和我们构建的守恒定律三阶变系数变异布西涅斯克系统。无数的守恒定律获得由本地和外地守恒的向量。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
承认
本Muatjetjeja要感谢快速的教师研究委员会,西北大学,麦非肯校园,南非,继续支持。