文摘

双重Ito方程可以被看作是一种泛化的知名Camassa-Holm方程。通过利用平面动力系统理论,我们研究了行波解的存在性。我们发现双重Ito方程光滑孤立波解,光滑周期波解,和周期性的尖端的解决方案。参数条件保证存在。

1。介绍

研究双组分方程吸引了很多研究者的兴趣(1- - - - - -6]。我们要讨论的双组分方程本文是双重Ito方程(7] 双重Ito方程(1感兴趣的)是由于连接的Ito方程与KdV方程。

Ito方程(8), 是双组分KdV方程的一个典型的例子。结果表明,耦合方程具有无限多的对称性和守恒定律。它也表明,这些对称性定义层次结构耦合方程的每个一个哈密顿系统。

通过“tri-Hamiltonian二元性”的感觉7),著名Camassa-Holm方程(9,10] 可以被视为KdV方程的对偶方程 在(加号3)支持compactons导致了可积方程,而负号是由Camassa-Holm水波模型派生的,其有界行波(称为peakons)开发一个不连续的衍生品(10]。

不同的方法被用来研究标准Ito方程精确解或广义的以及高阶Ito方程(11- - - - - -17]。但是很少有研究行波解(1)。我们想知道,(1),是否存在一些有趣的解决方案,比如光滑孤子,peakon, cuspon, compacton [18)解决方案。

在本文中,我们将用动力系统的方法19- - - - - -24从数学的角度研究行波解(1)。

本文的其余部分组织如下。节2后,将双组分双Ito方程转化成平面动力系统,讨论了分岔条件和可能的相平面系统的肖像。基于这些肖像阶段,部分3提出了不同类型的解决方案,比如光滑孤立波解,光滑周期波解,和周期性的尖端的解决方案。最后一部分是致力于一个简短的结论。

2。分岔的条件和可能的阶段肖像

在本节中,均衡的属性点和可能的阶段将肖像。

我们考虑行波解(1)的形式 在哪里波的速度。

用(5)(1),我们得到一个常微分方程组 ,“”是导数。

积分(6一旦对),我们获得 在哪里是积分常数。

从第二个方程(7),我们得到

堵塞(8)的第一个方程(7),我们获得一个非线性ODE 在哪里当(1)需要加号和,负号。

让,我们得到以下平面系统:

系统(10)是一个平面动力系统中定义3参数空间(,,)。因为轨道阶段定义向量场的系统(10)确定所有行波解,我们将调查阶段的肖像的分支,这些系统在相平面当参数改变。

系统(10)有一个单一的直线当加号或两个单一的直线当取负号。为了避免奇点,让系统(10)改变了常规的系统:

现在我们考虑系统的平衡分10)躺在轴。让 我们可以看到,最多四个实根吗,4,因为它是一个多项式与秩序。然后系统(10点)最多四个平衡。

我们需要找到分岔条件参数。方程有三根,,如果。这意味着我们只需要讨论情况。因此我们得到一个分岔的条件。当,我们有。因此是另一个分岔的条件。

接下来我们将研究可能的秩序的根源。我们可以看到,,。如果和,然后,,。当,我们有;然后。此外,如果,满足。如果,没有零。如果,只有一个零为,没有平衡点。如果,然后。有两个零和为。因为,有0。

现在考虑平衡点单数行。在单一的行没有单一的平衡。当(1)负号,在奇异行,有两个奇异平衡在哪里。

调查的平衡分(11),让线性化方程组的系数矩阵的系统(11在平衡点)是决定因素。我们有 对应于加号(1), 对应于负号(1)。我们可以得到和,分别。

通过平面动力系统理论(22),我们知道一个平面哈密顿系统的平衡点是一个鞍点的情况在的情况下,一个中心和尖端的情况和庞加莱指数为0。

2.1。平衡分阶段的画像(10)当加号在(1)

除了直线或系统(10)和(11)有相同的第一个积分 在哪里对应于加号(1),对应于负号。

让,。我们可以得到,在那里。

系统(11)有相同的相位肖像系统(10)除了相应的加号或对应于负号。

引理1。当和点,有两个平衡和。是一个鞍点吗是一个中心点。在这个参数情况下,水平曲线的一个分支定义了一个鞍点的同宿轨道和水平曲线的一个分支与导致一个家庭的平稳的周期轨道(10)(见图1(一))。

引理2。当系统的平衡分10)可以被描述为以下情况。(1)如果和点,有四个平衡,,。和是中心和和鞍点。有一个定义的同宿轨道,,经过和,分别。有一个家庭光滑的周期轨道(10)封闭中心和分别为(见图1 (b))。(2)如果和点,有两个平衡和 。是一个鞍点是一个中心点。有一个定义的同宿轨道通过。有一个家庭光滑的周期轨道(10)定义为,封闭的中心(见图1 (c))。

2.2。平衡分阶段的画像(10)当取负号(1)

当把负号,有两个单数行(10)。两个平衡点出现。当,不存在平衡点奇异线。如果和,我们有。当,我们有。如果,只有一个平衡点,()这是一个鞍点。如果,没有平衡的点。

引理3。当,和系统(10)有两个平衡的点和。是一个中心点,而是一个鞍点。有一个定义的同宿轨道的鞍。有一个家庭顺利定义的周期轨道,周围 参见图2(一个) 。

当,有平衡。当,我们有和;然后,在那里是最低的。

引理4。当和系统的平衡分10)可以被描述为以下情况。(1)如果和平衡,有六个点,,, 。,,中心;,,鞍点。平衡分和躺在奇异线。有一个同宿轨道穿过封闭的中心。有一个家庭的周期轨道周围的每一个中心点。有一个奇异关闭轨道通过奇异鞍点和 图2 (b) 。(2)如果和点,有四个平衡,,, 。和中心点,而和鞍点在单数行吗。有家庭的平滑周期轨道周围的中心和,分别。有两个奇怪的周期轨道经过和 参见图2 (c) 。

3所示。不同种类的旅行解决方案(1)

在本节中,我们将给出一些类型的有趣的解决方案(1)。

假设是一个行波解(9),,,在那里和是两个常数。如果,然后被称为孤波解。通常,一个孤波解(9)对应于系统的同宿轨道(10),而一个周期解决方案(9)对应于一个封闭的轨道系统(10)。

通过使用上面的前题的结果和奇异非线性行波方程的基本理论(22),我们获得的行波解的动力学行为(1)如下。

3.1。孤波解(1)

命题5。存在一个光滑铃型孤立波解的第一个组成部分(1)如果一个加号(1),并满足下列条件之一:(1) ,;(2) ,,;(3) ,,。

这些孤波解对应的同宿轨道鞍点的在数据1(一)和1 (c)并通过鞍点的在图1 (b)。为简单起见,我们只给一个平面的第一个组件在图3(一个)。第二个组成部分(1然后根据()8)。

命题6。存在一个光滑valley-shape孤立波解的第一个组件(1),并满足下列条件之一:(1) ,,并以加号(1);(2) ,,取负号(1);(3) ,,,取负号(1)。

这些光滑valley-shape孤波解对应的同宿轨道鞍点的在数据3(一个),2(一个),2 (b)。第一个组件的平面轮廓如图4(一)。

3.2。平滑周期解

命题7。有一个家庭光滑周期波解(1如果满足下列条件之一:(1) ,并以加号(1);(2) ,,并以加号(1);(3) ,,并以加号(1);(4) ,,并以加号(1);(5) ,,取负号(1);(6) ,,取负号(1);(7) ,,取负号(1);(8) ,,,取负号(1);(9) ,,,取负号(1);(10) ,,取负号(1)。

这些周期行波解对应于光滑周期轨道的家庭周围的中心人物1和2。第一个组件的平面轮廓如图5(一个)。

3.3。非光滑周期波解

在数据1 (b)和1 (c)单一的直线亲密相交的轨道。奇异非线性行波方程的理论(22),有非光滑波解(1)。

8号提案。有一个峰值周期尖端波解(如果一个负号1),并满足下列条件之一:(1) ,,,;(2) ,,,。

这些峰值周期尖端波解对应于拱曲线的左边通过单一的鞍点和围绕着中心在图2 (b)通过单一的鞍点和围绕着中心在图2 (c),分别。概要图所示6(一)。

9号提案。有valley-shape周期性尖端波解决方案如果一个负号(1),满足下列条件之一。(1) ,,,;(2) ,,,。

这些valley-shape周期性尖波解对应于拱曲线的右侧通过单一的鞍点和围绕着中心在图2 (b)通过单一的鞍点和围绕着中心在图2 (c)。概要图所示7(一)。

4所示。结论

通过使用奇异非线性行波方程的理论,我们发现几种不同的行波解的存在性(1)。结果表明,有一些迹象的影响类型的解决方案。只有顺利行波解当加号。非光滑行波变化-解决方案时出现的迹象。此外,我们的工作没有发现peakons虽然双组分双Ito方程类似于双组分Camassa-Holm方程。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

承认

研究是由中国国家自然科学基金(没有。11026169)。