文摘

有几种癌症的有效治疗尚未确定。数学建模可以不过指出临床肿瘤入侵属性,应该有针对性的降低这些癌症。我们提出的行波分析与免疫治疗tumour-immune交互模型。我们使用的几何处理apt-phase空间建立稳定和不稳定流形之间的十字路口。我们计算的最小波速度和数值模拟都支持分析结果执行。

1。介绍

行波分析,中移动在波的传播方向。行波在tumour-immune交互动态分析是很重要的因为如果旅行波存在,那么我们可能估计的潜在肿瘤细胞侵入健康组织(1]。Tumour-immune交互研究透露了很多信息关于癌症和癌症治疗(2- - - - - -9包括癌症休眠,当肿瘤细胞处于静止状态在很长一段时间没有转移。癌症休眠归因于tumour-immune交互,特别是肿瘤浸润细胞毒性淋巴细胞(TICLs) [2]。行波分析可能导致的理解分析模型参数和肿瘤入侵特性之间的联系。

大多数标准的细胞入侵模型Fisher-Kolmogorov相关方程。Fisher-Kolmogorov方程(10,11)是最简单的宏观反应扩散演化方程建模癌症入侵一样出现在[12]。例如,许多作者(12- - - - - -14),使用了Fisher-Kolmogorov方程模型扩散的肿瘤和癌症的发展在宏观范围内。多项研究表明,这个方程行波解和最小波速对这些模型估计(见[15,16])。tumour-immune交互模型提出了采用Fisher-Kolmogorov方程模型的随机运动细胞。本文的目的是研究行波解的存在性的tumour-immune交互模型,没有免疫疗法和估计的最小波速与肿瘤细胞侵入健康组织。以这种方式得到的强度估计肿瘤侵入免疫细胞或肿瘤细胞抵抗入侵的能力通过免疫细胞以及确定肿瘤入侵属性参数的形式应该针对减轻癌症的身体组织。工作提出了补充分析由Mambili-Mamboundou et al。17]。他们提出了相似的模型方程,分析了他们的平衡,发现数值解。Mambili-Mamboundou等的主要目标的工作(17)是确定癌症休眠的原因,调查的效果免疫疗法对TICLs固体肿瘤的反应入侵。

2。该模型

模型被认为是得到了Mambili-Mamboundou et al。17]。它将细胞群为当地的影射TICLs浓度,肿瘤细胞白介素2的浓度,tumour-immune细胞复杂,趋化因子,静息细胞。类代表人口培养免疫细胞与肿瘤宿主抗肿瘤活性。我们假设不一定与TICLs结合形成一个细胞复杂而是刺激TICLs抗癌通过淋巴细胞激活、生长和分化。我们还假设增加休息的兑换率TICLs影射TICLs(见[17,18])。是一个类代表的人口TICLs尚未成熟或被抗原激活。在肿瘤免疫细胞攻击或其他身体组织感染,天真或休息时,TICLs就会被抗原呈递细胞(apc)在淋巴结和脾脏等二级淋巴器官(19]。图1显示细胞的局部动力学。

在[receptor-ligand动力学理论后20.),当肿瘤细胞和免疫细胞接触,这可能导致形成tumour-immune复杂的绑定后可以导致肿瘤细胞死亡的概率速度或导致TICLs失活率。在后者的情况下,tumour-immune复杂的分离速度。是一个参数描述的分离率TICLs从肿瘤细胞,导致不可逆的编程为裂解肿瘤细胞。复杂的形成减少了TICLs和肿瘤细胞密度和增加了复杂的密度。分别同样TICLs和肿瘤细胞密度增加和,以防肿瘤或免疫细胞死亡。绑定的影射TICLs肿瘤细胞趋化因子导致的生产。趋化因子梯度定义TICLs向肿瘤的迁移的过程称为趋化作用为代表在模型中,趋化性常数。我们假设的供应速度免疫细胞进入肿瘤定位的地区,在那里是供给率。我们考虑免疫细胞扩散项同样的趋化因子生产的术语,在那里,,是常量参数来自实验结果。是一个函数,它解释了肿瘤细胞增殖与免疫细胞互动的结果。我们认为,所有细胞密度弥漫性恒定速率。因此我们考虑下面的非线性抛物型偏微分方程组(Mambili-Mamboundou et al。17): 在哪里,扩散系数的影射TICLs肿瘤,,静息细胞密度,分别是休息的利率的刺激细胞激活TICLs由于注射病人吗。的能力用刺激抗体的产生和是一个扩散的概念也被Kirschener和帕内塔3]。这模型TICLs的刺激和Michaelis-Menten的形式(见[3])。和物流增长条件,分别模拟肿瘤与静息细胞的增长,在哪里和,分别是,增长率和承载能力,是供应,,分别是失活的吗和。,,分别是静息细胞供应率,增长率和承载能力。

我们考虑一维空间域上的间隔和假设有两个地区在这个区间,一个完全被肿瘤细胞,另一个完全被TICLs(激活和休息)。我们建议的初始区间肿瘤定位,在那里(2]。在我们的模型中,我们不包括亥维赛函数由于我们考虑一个静止细胞类。我们进一步假设这些静息细胞可以招募到激活细胞类。因此,边界和初始条件

它已经表明,趋化作用不影响行波解的存在性(见,例如,1])。因此我们做的行波分析没有趋化作用的影响。假设细胞轭合物的形成发生在几个小时的时间尺度,肿瘤细胞和免疫细胞的涌入到脾脏发生在慢得多的时间尺度,可能几十小时,nondimensionalizing上述系统的(1)通过,,,作为初始浓度的分数和厘米给 在哪里

边界和初始条件,分别

3所示。行波解

在本节中,我们调查是否模型(3)展品行波解。我们使用的几何处理apt-phase空间建立稳定和不稳定流形之间的十字路口,一个方法还受雇于Bellomo et al。1在研究行波解。该方法的要点是建立两个轨道的存在加入两个不同的平衡相空间中的点。我们指定一个旅行坐标,在那里行波的速度大于零(),让,,,。为简单起见,我们把式子和系统(3)转换成

对于简单的相空间分析,我们定义变量 和(6)转换为一个自治的一阶微分方程组如下: 与边界条件 在哪里和对应于系统的平衡分(8)。

系统(8)可以被视为一个特征值问题,因为波速度是未知的。我们把一个值,数值产生行波解。我们选择这个值在模拟系统(3)。有几个其他的值能产生行波解。在下一节中,我们计算临界波速下面这行波解不存在。我们发现两个之间的联系和后,用参数值表1, 在这里,和平衡系统的点(8)。我们的兴趣是建立一个轨道的存在满足 这样一个轨道的存在意味着,行波解存在1]。

我们考虑线性化 的向量场在平衡分和,分别。从雅可比矩阵 在哪里 我们确定矩阵的频谱和。表的参数值1,有八个实特征值(,),四个积极和四个消极。四个正面特征值意味着四维不稳定流形的存在。同样的,有八个特征值(,),三个正面和五个负面,这意味着一个五维稳定流形的存在。从这个结果,我们注意

方程(16)表明,和横向沿一维曲线相交的八维相空间。这是因为系统的解决方案(8躺在八个维度(8 d)的总和稳定和不稳定流形的维数是9 (9 d)所示(16)(见[1,21])。如果是这种情况,那么这条曲线将定义一个通用heteroclinic连接(1]。这因此证实系统(1对于某些参数值)展品行波解。

4所示。最小波速

在前面的小节中,我们证实(3)展品行波解。在本节中,我们计算的最小波速模型(3)和()和(连接发表平衡点)治疗癌症休眠平衡点。在本节中,我们寻求最小波速。我们应用Chahrazed所使用的相同的技术22和Maidana和阳23在确定。该技术包括分析相空间的特点是将自治系统平衡的点。最小波速变化对应一个特征值的行波微分方程平衡点的波。

计算最小波速,我们实施条件,发表的平衡点(8),不能摆动。换句话说,特征值对应这个平衡点一定真实值;也就是说,。我们寻求行波速度都有或没有免疫疗法。

4.1。没有治疗情况

与发表文章指出,系统的平衡点(8)是 的平衡点在生物学上有意义的,和必须是积极的。和是积极的, 特征值,相应的,是 在哪里

前四个特征值(19)- (22)是真实的。因此(23)或(24)应该确定最小波速我们获得通过设置 因为我们需要是真实的。解在(26)给 从表替换参数值1到(27)给。这表明最小波速为没有免疫治疗大约是tumour-immune交互模型。

4.2。治疗情况

与发表平衡系统的点(8)

特征值,相应的,(免疫疗法) 在哪里 在哪里。

第一个六个特征值(29日)- (34)是真实的状况,实行积极的发表平衡点是能够实现的。方程(35)或(36)应确定的条件存在的最小波速。我们设置和替换参数值表1。结果给了价值在没有治疗的情况。这意味着最低波速度模型(3)治疗都有和没有是一样的。换句话说,免疫疗法可能不影响强度与肿瘤细胞的免疫细胞的攻击,因为最小波速有或没有临床治疗是相同的。费雪方程行波解(24]。我们获得的最小波速大于两个,因此不违反最小波速为费雪方程。

5。数值模拟

使用参数值表1,我们模拟模型(3)。这些参数值从数据获得的小鼠B细胞淋巴瘤是作为实验模型小鼠的肿瘤休眠(25]。在这个实验中得到的动力学参数值如表所示1。我们假设和以同样的速度扩散TICLs(例如,)和使用扩散系数的值为免疫细胞Matzavinos et al。2]。我们采取了行波的速度和实现模拟在python中使用龙格-库塔数值方法。数值模拟(见图2和3)表明,系统(3对于某些参数值)展品行波解。这支持分析结果的行波节的存在3。数据2和3分别显示了数值模型(行波解3)没有和临床治疗,不同的行波坐标。他们描述的解决方案,是阶段性和振荡稳定平衡状态。这些解决方案描述异构细胞分布与肿瘤细胞密度相对较低。行波解表明,肿瘤细胞入侵的免疫细胞在高潜力。在前一节中获得的最小波速表明模型展品行波解。这是符合我们我们使用的数值模拟。

6。结论

许多生物和物理现象可以描述了反应扩散方程。但是不是很多非线性反应扩散方程可积。因此,必须找到其他定量方法处理这类非线性系统。本研究的目的是使用定量的方法来研究行波解tumour-immune交互模型和确定肿瘤入侵特性参数的形式应该针对减轻癌症通过估计最小波速。我们研究了行波解的存在性和估计的最小波速度波解的相空间分析模型。行波解的存在性证实肿瘤攻击免疫细胞的潜能。计算表达式的最小波速确定的参数需要针对根除癌症的身体组织。我们模拟模型(3)和比较结果分析结果。数值行波解描述周期性细胞密度与肿瘤级别低,振动对一个稳定的平衡态。这些解决方案描述癌症休眠已观察到在一些癌症,例如,成骨肉瘤,基底细胞癌,乳腺癌,也意味着攻击肿瘤细胞的免疫细胞在他们的全部潜力。

方程(27)强调了主要参数()参与肿瘤入侵对应肿瘤生长速率、休息TICLs的增长率,TICLs休息的承载能力,休止细胞的供给,肿瘤细胞的扩散速度,和当地的动力相互作用参数(肿瘤细胞死亡和失活TICLs)。

本文获得的结果类似于那些在Matzavinos和牧师26]。在他们的工作,他们执行的行波分析模型描述的生长肿瘤的免疫系统反应。他们的研究结果确实表明,肿瘤免疫细胞攻击他们的模型表现出以来的全部潜力行波解。在未来,我们希望考虑扩散在更高维度由于人体组织几何是高度复杂的。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

作者的贡献

珍贵的Sibanda和Hermane Mambili-Mamboundou合作者。

承认

作者感谢来自夸祖鲁-纳塔尔大学的金融支持。