文摘
最近,岜沙(2013)解决这一问题将近似和优化设置的具有半序集的一个度量。他认为,如果和非空半序集的子集,配备一个度量和吗是一个non-self-mapping从来,然后映射最好有最优近似解,称为邻近点的映射算子方程,当是一个连续,向近端单调,下令近端收缩。在这个报告中,我们将获得他的结果通过省略排序,近端单调性,并下令近端收缩。
1。介绍
让是一个non-self-mapping从来,在那里和非空的一个度量空间的子集。显然,固定的点的集合可以是空的。在这种情况下,一个经常试图找到一个元素在某种意义上接近。最佳逼近理论和最佳距离点分析适用于解决此类问题。著名的最佳逼近定理,由于风机(1),声称如果是一个非空的、紧凑的、凸赋范线性空间的子集和是一个连续函数的来,那么存在一个点在这样的距离来等于的距离来。这样的一个点被称为最佳逼近的角度在。一个点在据说是一个最好的邻近点吗,如果的距离来等于的距离来。最好的接近点理论的目的是提供充分条件,保证最好的邻近点的存在。调查的几个变种存在的收缩可以找到最好的邻近点在1- - - - - -15]。在大多数的论文最好的接近,订购,近端单调性,并下令近端收缩映射扮演一个关键的角色。一个自然的问题是,它是可能的,我们可以有其他的方式可能不需要订购以及近端单调性和命令近端收缩映射。最近,岜沙(5解决一个问题,将近似和优化设置的具有半序集的一个度量。他认为,如果和非空半序集的子集,配备一个度量和吗是一个non-self-mapping从来,然后映射最好有最优近似解,称为邻近点的映射算子方程,当是一个连续,向近端单调,下令近端收缩。在这个报告中,我们将获得他的结果通过省略排序,近端单调性,并下令近端收缩。
2。初步结果
让是一个非空的设置,让是一个度量。除非另有说明,假设在本文和非空的子集的。我们记得以下符号和初步结果:
命题1。让和是两个度量空间的紧凑的子集。那么两个和非空的集合。
证明。假设这两个和两个紧度量空间的子集。让这样作为。自和紧凑,也是紧凑。存在这样 请注意,(2)等价于 让我们考虑 采用(3),让在(4),我们得到。因此和。这就完成了证明。
命题2。让是一个紧凑,让欧氏空间是一个封闭的子集与规范。那么两个和非空的设置。
证明。假设紧凑和是封闭的欧氏空间的子集。让这样作为。自紧凑,存在吗这样 请注意, 对所有。这意味着是有界的。它遵循Bolzano-Weierstrass定理和亲密这存在这样 让我们考虑 采用(5)和(7),让在(8),我们得到。因此和。这就完成了证明。
命题3。让和是两个非空的度量空间的子集。然后下面是满意。(我)如果 紧凑和 是封闭的,那么 是一个封闭的子集 。(2)如果 紧凑和 是封闭的,那么 是一个封闭的子集 。(3)如果两个 和 紧凑的,那么 和 非空的和关闭。
证明。(我)这是微不足道的。假设,让这样
请注意,和是封闭的,所以我们有什么。自,有这样。它遵循的密实度这存在这样
现在,让并考虑
采用(9)和(10),让在(11),我们得到。这意味着,因此,是关闭的。这就完成了证明。
的证明(2)从(我),也就是显而易见的证据(iii)遵循从命题1(i)和(ii)。
接下来的结果扩展了命题3.1 (10从赋范线性空间可度量拓扑向量空间。
命题4。让是真实的翻译引起的拓扑向量空间的拓扑不变量指标随着房地产 在哪里表示零向量。让和是两个封闭的子集这样。然后 在哪里和用的边界吗和,分别。
证明。让。然后存在这样。很明显,。让相反。然后,关闭附近(零向量),特别是正数这样,尽管。让 很明显从和亲密感和与那和。因此,它遵循的翻译和不变的属性 那 这是一个矛盾。这就完成了证明。
下面的例子显示,有可度量拓扑向量空间与属性引用前面的非normable命题。
例5。让是一个真正的向量空间一个可数的家庭半范数分离的非零分从(零向量)。为每一个和每个索引,定义。让的拓扑结构生成的家庭。一个可以看到是一个拓扑向量空间(甚至局部凸空间)。一个可以验证拓扑翻译引起的不变的米。此外,对于每一个积极的足够小的数字,我们有为每一个。然而,不是normable。
3所示。主要结果
在本节中,我们提供了一个存在结果最好的邻近点的映射在度量空间通过省略排序,近端单调性,近端收缩。
我们开始用一个例子表明,它有可能在有限维欧氏空间的邻近点集是线性映射(投影)是空的。
例6。让,,。定义函数通过 很明显,是连续的(因为它是投影)。不难验证(我)这两个和已经关闭的子集;(2) ;(3)没有这样(即。,没有best proximity point).
命题7。让是一个紧凑,让子集是一个nonvoidsubset度量空间。让是连续存在的属性这样,在那里 然后,存在一个元素在这样
证明。选择这样。然后存在这样和。自紧凑,存在吗这样 通过使用的连续性,我们可以得出这样的结论: 这就完成了证明。
下面的结果建立一个存在的结果为非空的最邻近点集的映射没有假设任何命令,近端单调性,并下令在近端收缩。值得注意的是,只有一个存在结果不应用任何迭代法(见定理3.1的5])。
定理8。让和是nonvoidclosed完备度量空间的子集这样是nonvoidand完全是有界的。让和满足下列条件:(一) 和是连续的;(b) 和。然后,存在一个元素在这样
证明。假设。让和注意,。然后,我们有 所以,我们有和存在 方程(22)表明,。自,存在这样。因此 在下一步中,,我们获得。然后,我们有和存在 方程(24)表明,。自,存在这样。因此 之后,通过这种方式,我们可以生产序列这样 自和完全是有界的,存在一个子序列这样是一个柯西序列。通过使用的完整性,我们有 应用的连续性和,我们获得 这就完成了证明。
如果(标识映射),然后定理8减少以下推论。
推论9。让和是nonvoidclosed完备度量空间的子集这样是nonvoidand完全是有界的。让是一个连续函数,这样。然后,存在一个元素在这样
如果,然后。然后,通过推论9,我们获得以下推论说,不动点集的映射非空的。
推论10。让nonvoidclosed和完全完备度量空间的有限子集。让是连续的。然后,,在那里表示所有固定的点的集合。
在接下来的结果,我们要放松映射的连续性和(见条件(a)和(c)(定理3.1的5])。
定理11。让是一个让nonvoidcompact子集是一个nonvoidsubset完备度量空间。让和和定义通过 假设和断断续续的低,距离度量空间的函数吗。然后,存在一个元素在这样
证明。假设,我们注意到 然后,我们有 通过使用的下半连续性,我们有这样的存在这样 这就完成了证明。
推论12。让是一个让nonvoidcompact子集是一个nonvoidsubset完备度量空间。让和是连续的和满射。定义通过 然后,存在一个元素在这样
证明。很明显的连续性和surjectivity和暗示的下半连续性,在那里距离度量空间的函数吗和,分别。应用定理11我们期望的结果。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者要感谢两位匿名裁判的宝贵意见,有助于改善。此外,第三作者要感谢泰国的国家研究委员会,格兰特R2557B051金融支持。