文摘

我们研究了延迟周期Gilpin-Ayala共生系统的效果。得到了一些新的和有趣的充分条件来保证multispecies互利共生关系系统的周期解的存在与无限延迟。我们的方法是基于延拓的重合度。作者最好的知识,没有考虑周期解的存在性n物种共生系统无限延迟。

1。介绍

最近,有许多论文考虑了周期解的存在基于延拓的重合度理论的竞争生态系统(见[1- - - - - -4])。但很少有论文考虑共生系统的周期性;例如,一个可以引用(5- - - - - -7]。然而,上述引用只考虑二维共生系统。作者最好的知识,没有考虑周期解的存在性物种共生系统。应该注意的是,所用的方法(5- - - - - -7很难被扩展的维系统。所以,我们采用方法(2- - - - - -4]。然而,本文考虑的问题是完全不同于上面提到的这些。另一方面,上述作品视为常数的模型离散延迟或没有延迟。在实践中,将会有一个分布的传播延迟。在这种情况下,物种的传播不再是瞬时的,不能模仿与离散延迟。一个更合适的方法是将分布式延迟。因此,与分布式延迟模型的研究具有更重要的意义比与离散模型的延迟。因此,在本文中,我们考虑下面的互利共生系统与分布式延误: 在哪里,,,都是周期函数,也就是说,,,,,,是常数,。从生物学观点来看,,,是负的,,是正的。系统(1)与IVP如下:

2。周期解的存在性

为了方便起见,我们介绍一些符号,定义和引理。如果是一个连续周期函数上定义,表示 我们也表示矩阵的谱半径通过。表示

引理1(见[8])。让是一个开放和有界集。让弗雷德霍姆映射的索引0是紧凑的在(例如,是有界的,紧凑)。假设(我)为每一个,,;(2)为每一个,和。然后至少有一个解决方案吗。

定义2(见[9,10])。一个真正的矩阵据说是一个矩阵如果,,,。

引理3(见[9,10])。让是一个矩阵和;然后,在那里表示单位矩阵的大小。

定理4。下面的假定。 代数方程 具有有限的解决方案与和。 ,,。 ,在那里和 然后系统(1)至少有一个积极的周期性的解决方案。

证明。请注意,每一个解决方案的系统(1)与初始值条件是积极的。变量的变化 然后系统(1)是一样的
显然,如果系统(8至少有一个周期解,然后系统(1至少有一个周期性的解决方案。为了证明定理4,我们应该找到一个合适的开集令人满意的引理1。我们将证据分为三个步骤。
一步1。我们确认(i)的引理1是满意的。对于任何周期性,很容易检查 和定义和如下: 在哪里 定义的投影仪和通过 很容易遵循弗雷德霍姆的映射指数为零。此外,广义逆()存在,这是由 然后和是由 在哪里 使用类似的步骤1的参数(2),很容易证明相对紧凑的空间。
一步2。在这一步中,我们能够寻找一个适当的开放的有限子集满足条件(我)的引理1。具体地说,我们的目标是寻找一个合适的定义为在步骤1中这样满足条件(我)的引理1。为此,假设方程的一个解决方案吗为每一个;也就是说, 自,每个的组件连续可微的,周期。的连续性和周期性,存在这样,。因此,我们到达 也就是说, 注意到意味着 它遵循从(), 在这里,我们使用()。让,它遵循从(20.), 或 这意味着 集。它遵循从(23), 针对和引理3,。让 然后它遵循从(24)和(25), 这意味着 另一方面,它遵循从(25), 估计(16),通过使用(26)和(28),我们有 我们可以选择一个足够大的实数(),这样 让。然后,任何解决方案的,我们有对所有。很明显,是独立的和选择。因此,采取,开放子集满足,为每一个,;也就是说,开放的子集满足引理的假设(i)1。
使用类似的参数步骤3 (2),不难证明,对于每个,和。
因此,由引理1系统(8)至少有一个积极的周期性的解决方案。由(7),系统(1)至少有一个积极的周期解,用。这就完成了定理的证明4。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。