文摘
利用值分布理论和最大模原理、问题的二阶代数微分方程的代数体解决方案调查。例子表明,我们的结果是锋利的。
1。介绍和主要结果
我们使用的标准符号和结果Nevanlinna亚纯理论或代数体函数;见,例如,(1,2]。
在本文中,我们假设二阶代数微分方程(3)承认至少一个非常数的有价值的代数体解决方案在复平面。我们表示的一个子集的并通过一个积极的常数,表示的线性测量。或并不总是意味着同一个当他们出现在下面。
让 是不常见的0,这样整个函数。我们把
一些作者研究了代数体解的存在性问题复杂的微分方程,和他们获得的许多结果([2- - - - - -10),等等)。
1989年,户田拓夫[4)考虑代数体解的存在性的代数微分方程的形式
他获得了以下。
定理(见[4])。让是一个非常数的重视上述微分方程和代数体解决方案多项式。如果,然后是代数。
本文的目的是研究代数体解决方案下面的二阶微分方程在复平面的援助Nevanlinna亚纯理论和最大模原理或代数体函数: 在哪里,。
我们将证明以下两个结果。
定理1。让是一个非常数的值的代数体解微分方程(3)和所有多项式。如果,然后是代数,。
定理2。让是一个非常数的值的代数体解微分方程(3),所有的命令是有限的。如果,然后下面的语句是等价的:(一) ;(b) ;(c) 皮卡德是一个特殊的价值。
2。一些前题
引理3(见[2])。假设,,亚纯函数,。然后一个
研究证明引理4.5中给出的2,页192 - 193],我们可以验证引理4。
引理4。让是一个先验的代数体函数等只有有限数量的波兰人,让,,没有两极。然后,对于一些常数,,它是适用的: 在哪里。
引理5(见[11])。方程的根的绝对值 有界的
引理6。让是一个非常数的值的代数体解微分方程(3),让是一个多项式。如果,然后 在哪里,是一个积极的常数。
证明。我们首先证明的波兰人0中包含的。
假设是一个极的订单和不是零的。然后
我们重写微分方程(3)如下:
它遵循从(10),
注意的是,,我们有
这是一个矛盾。
这表明两极0中包含的。
我们重写微分方程(3)如下:
为,我们有
应用引理5(13),
在哪里。
从(14)和(15),我们有
请注意,
把不平等(17),我们获得的,
这样可以减少我们的不平等通过计算双方:
引理6就完成了。
3所示。定理的证明1
首先,我们考虑。
让是一个极的。让零的秩序在。
(我)的杆不等于左边的其他条款(10),我们得到 也就是说,
(2)当极的顺序等于的一些术语吗(左边的10),我们得到 也就是说,
结合病例(i)和(ii),我们获得 在哪里是一个积极的常数。
其次,由引理6,我们获得
结合不等式(25)和(26),我们有 这表明,是一个代数解决方案(3)。
这就完成了定理的证明1。
4所示。定理的证明2
(我)(一)⇒(b)。假设。如果,那么我们就有(3) 应用引理3(28), 自是容许的解决方案,我们有吗 这 这是一个矛盾。因此,。
如果通过定理1,nonadmissible。因此,
(二)(b)⇒(c)。让。然后,类似于引理的证明6,我们获得的波兰人中包含的集合和皮卡德是一个特殊的价值。
(三)(c)⇒(一个)。让皮卡德是一个特殊的价值。然后。
5。一些例子
例1。微分方程 有一个先验的代数体解决方案吗。在这种情况下
例2。先验的代数体函数是一个2-valued解决微分方程如下: 在这种情况下 由定理2,超越代数体函数,皮卡德是一个异常值。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这个项目是由国家自然科学基金项目(10471065),NSF广东省(04010474)。