文摘
我们提出一个新版本的再生核希尔伯特空间方法(RKHSM)分数积分微分的方程组的解。在这种方法中,解的收敛级数轻松可计算的组件。一些说明性的示例证明了本方法的有效性。本文中描述的方法有望进一步用来解决类似的非线性问题分数微积分。
1。介绍
在本文中,我们考虑以下部分积分微分的方程组: 在哪里,,,导数的阶卡普托和受初始条件:
在过去的二十年里,分数微积分找到了不同的应用程序在不同的科技领域(1,2),如热能工程、声学、电磁学、控制、机器人、粘弹性、扩散、边缘检测,动荡,信号处理,和许多其他物理和生物过程。分数微分方程也被应用于建模许多物理和工程问题。分数阶积分微分的大多数系统方程没有精确解,因此数值技术用于解决这种系统。Adomian分解方法,同伦摄动法和其他方法是用来给一个线性和非线性问题的近似解;参见[3- - - - - -13)和引用。
在我们以前的工作(14),我们提出了一个再生核希尔伯特空间方法求解分数阶积分微分的方程基于再生核理论(14,15]。在本文中,我们将总结的想法RKHSM提供对系统的部分型积分微分方程数值解(1)。为了演示RKHSM算法的有效性,几个部分的线性和非线性系统方程的数值实验(1)将。
本文组织如下。介绍分数阶积分微分的算法求解系统方程给出了部分2。节3,我们介绍几个例子来显示该方法的效率。最后,给出一个结论部分4。
2。该算法
均质化后的初始条件(2),我们应用算子Riemann-Liouville部分积分的顺序(2,16- - - - - -20.两边),(1) 在哪里
很明显,(3)相当于(1),所以每一个积分方程的解决方案(3原始问题(的)也是一个解决方案1),反之亦然。
解决(3)通过再生核希尔伯特空间的方法,首先,我们需要构建一个特定空间的复制内核绝对是连续的,,在每一个函数满足同质的初始条件(1)。(我)内积空间绝对是连续的实值函数,是由 和规范。在[21),李崔和证明再生核希尔伯特空间,其内核是由繁殖 (2)内积空间是绝对连续函数,实际价值是由 和规范。再生核希尔伯特空间,其内核是由繁殖 (3)内积空间是绝对连续函数,实际价值是由 和规范。再生核希尔伯特空间,其内核是由繁殖 在哪里。
获取的方法复制内核可以在[15]。
让这样。然后,有界的线性算子。
让是可数的。让和,在那里伴随运营商吗。
通过gram - schmidt过程我们可以构造一个标准正交系统的,在那里
定理1。让是一个密集的。然后是一个完整的系统的。
证明,请参阅[14]。
定理2。让是一个密集的的解决方案(3)是独一无二的。的解决方案(3)是由,在那里。
证明,请参阅[14]。
你可以得到一个近似解通过有限的许多方面的系列表示和。
自是一个希尔伯特空间呢。
定理3。的近似解及其衍生物一致收敛到,,。
证明。由复制内核的属性施瓦兹不等式,我们可以获得
在哪里是一个常数。
的表示我们可以获得
自,是一致有界的和,我们有
所以
因此及其衍生物一致收敛到。
3所示。数值结果
本文给出三个数值的例子来展示该方法的准确性。计算是由Mathematica 8.0。我们用这种方法比较结果与精确解的例子。
例1。考虑以下线性分数积分微分的方程组:
确切的解决方案是,。
均质化初始条件和使用这种方法后,,,的图形不同的值的近似解和绘制在图1。从图1很明显,近似解与精确解吻合较好,不断的解决方案取决于分数导数。
(一)
(b)
(c)
(d)
例2。考虑下面的分数阶积分微分的非线性系统方程:
确切的解决方案是,。
均质化初始条件和使用这种方法后,,,的图形不同的值的近似解和绘制在图2。
(一)
(b)
(c)
(d)
例3。考虑下面的分数阶积分微分的非线性系统方程:
确切的解决方案是,。
均质化初始条件和使用这种方法后,,,的图形不同的值的近似解和绘制在图3。
(一)
(b)
(c)
(d)
4所示。结论
在本文中,我们引入一个新的算法求解分数阶积分微分的系统方程。这种方法得到的近似解和它的导数都是一致收敛。结果验证了算法的可靠性和广泛的适用性,线性和非线性分数微分方程的系统。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。