文摘
张力在纱线及其振荡线的末端上解除固定包依赖于解除速度,包的形状和绕组类型,空气阻力系数,以及纱线之间的摩擦系数和包。纱不离开表面包立即平仓点。相反,它首先表面的幻灯片,然后电梯形式气球。模拟的问题解除过程可以分成两个规模较小的子问题:第一个任务是描述在气球纱线的运动;第二个是解决滑动。尽管看似复杂形式的方程,它们可以作为我们展示部分分析解决。
1。介绍
纱解除期间从一个静止的包,包的纱线表面幻灯片之前,形成一个气球升空。的纱线开始滑动称为解除,而点纱电梯从表面被称为发射。本节的纱,解除点和发射,纱线的张力下降从其价值气球(发射)残值,定义为包内的纱线的张力。运动方程已知控制纱线的运动:我们建立了他们的部分2这篇论文。它们可以部分分析解决,当我们显示在下面。纱理论解除了一个包和气球理论已经在五十年代快速发展,因为Padfield的工作(1,2]。她固定麦克方程气球3),系统考虑科里奥利力。她发现一个气球的结果从一个圆柱形展开包。相同的理论后来被用来计算参数与非零连续多个气球解除角和一个圆柱形,圆锥形,或空包(1]。Kothari和叶派生的运动方程,包括重力和空气阻力的影响切向分量(4,5]。使用广泛的数值方法对圆柱和圆锥的包他们表明,这些影响可以忽略。最近弗雷泽运动理论表明,使用时间依赖性可以排除在运动方程在数学的正确方法6,7]。他导出包小缠绕角度的可动边界条件。弗雷泽还决定,内部的张力和一个气球的半径更小的弹性纱线。使用简单的物理他最近推出了不同的nanotextile nanophenomena电纺的[理论的最新产品8,9]。
2。纱线的运动方程
纱线运动包表面的问题解除可以治疗期间类比与纱线的运动形成之间的气球升空点和鞋孔,通过该纱拉。
纱被撤回的速度通过一个金属圈,我们也解决原点我们的坐标系统(图1)。旋转由于纱线设在角速度。在发射点Lp,纱线电梯从包并形成一个气球。在解除点,纱线开始滑动表面的包。角的缠绕角度纱包。
纱的一般运动方程推导和证明在前面的作品之一10]:
位置矢量从坐标系统的起源点选择点沿纱线,纱线的线密度是质量,是角速度矢量的旋转坐标系的纱线被描述和点沿设在,是总时间导数的运算符之前的运动点在旋转坐标系中,,是机械张力,是外部力量的线密度。
3所示。纱和包表面之间的摩擦
有一个包和纱线之间的摩擦滑动表面形成气球升空。包上的纱线是施加法向力(即。,a force perpendicular to the package surface, thus in radial direction). This force is not known a priori, but must be determined as part of the solution to the full problem. The simplest expression of the friction law states that the friction force is proportional to the normal component of the force. The coefficient of proportionality is known as the coefficient of friction。摩擦力点纱运动方向相反。
的数量在(1)因此有两个组件:包的径向力的纱线(也就是在大小的力纱包,根据牛顿定律的交互作用)和摩擦力(图2): 在这里是力的法向分量的线性密度和纱线之间的表面,径向方向的单位向量,是单位向量的方向线。
纱线表面的幻灯片时,因此经验法向力和摩擦力。
摩擦定律最多是一个粗略的近似一个更复杂的实际行为。在现实中,摩擦系数在一个复杂的方式取决于滑动速度(11- - - - - -16),这是不同的在不同的点的包表面自包很少完全同质。我们因此采取有一些平均摩擦系数可以确定哪一个经验(17]。
4所示。似稳的近似
方程(1)通常是有效的,描述了纱线的任意运动,即使在快速变化的情况下当条件,例如,附近的包边。包边圈角附近的突然变化,因此纱线的运动包表面和气球升空点附近的部分变得非常复杂。在边缘附近,不受欢迎的事件可能发生:纱可以脱落的包或一层纱崩溃。这样的瞬态效应的描述超出我们的简化模型的有效性,因为每个人都应该精确模型的行为层形成的纱线也包散装。例如,纱线在包的残余部队也将扮演一个角色(18]。
严格来说,包上的纱线进行滑动表面只有当解除点是在一定距离包边。在这种情况下,在似稳条件:在旋转坐标系纱线缓慢改变其形式。出于这个原因,在第一个近似描述的时间依赖性可以完全通过时变边界条件,而对运动方程可以被忽视的方面:
5。纱线的运动方程的包:简化为二维问题
包表面纱线幻灯片时,它的运动有效地发生在一个二维子空间。这个事实可以考虑(3)为了简化问题的二维问题,可以更容易地处理。事实证明,在圆柱上的滑动运动包,可以解决这个问题在很大程度上使用分析技术。分析解决方案允许更直接的理解不同量之间的关系。出于这个原因,我们今后将假设包是圆柱形的,然后我们将决定分析的解决方案。
点的向径可以表示为一个圆柱体的表面(与方程在[10]) 的数量该恒定距离的点吗从包轴。它的半径等于层被解除。单位向量点包轴的方向,和单位向量与极角点在径向方向上(见图3)。在这个表达式,有两个未知数和,而第三因为它表面是常数抵消。纱线的运动因此被翻译为一个二维问题。这个拟设将用于(4)找到一个简化的运动方程。
弧长半径的导数向量计算使用的关系从[10)获得 其中破折号代表弧长导数。然后,我们得到 我们还需要的关系 可以使用一个简单的计算得到的矢量产品。
方程(3)可能会被分解在不同的组件: 的数量,,的组件是外力的线密度(2)。第一个是简单,而其他两个仍需确定。纱的速度在似稳近似(见方程在[10),我们的替代品) 这个表达式可以用于推导出单位矢量的方向纱速度: 最后的两个组件的力的线性密度: 方程(8)- (10)和(13)我们需要运动的简化方程。起初,他们显得更复杂的比向量表达式(2)和(3),因为它们表示组件的组件。然而,他们确实是简单:未知函数,,,,,但我们设法消除和。在论文的这一部分,我们将显示功能同样可以被消除。
6。局部解析解
方程(9一节)乘以,(10);然后加在一起,重新阅读 在这个方程,纱线的线密度,解除速度,包的半径,纱线的张力,摩擦力的线密度,并给出点的位置在圆柱坐标系统()。dash象征表示手术后的导数的弧长。现在我们考虑nonextensibility的条件,即纱线的延长可能会被忽视。包表面的运动,这个条件(方程在[10)可以表示为 微分方程,我们得到 插入(15)和(16)(14),我们最终得到的 在这个方程我们插入表达式力的线密度的组件 我们获得 获得最后一个表达式我们使用(15)。的从这个方程是评估和插入的表达式在(18): 这是用于 获得 我们把这个方程写成
引入无量纲后角速度和一个新的变量方程需要更明确的表达式: 的数量总是小于1纱幻灯片包表面时,由于一个循环纱线的包的长度至少是2。一个简单的考虑(和图的帮助4)可以说服我们的导数相关的切线方向纱包表面。事实上,一个。使用一个类似的考虑也可以证明。
(一)
(b)
方程(24)可以综合分析。左边是函数的导数,而右边是函数的导数。
可以很容易地验证,我们因此获得 张力总是大于数量线密度的两倍,这是纱的动能,因为它被通过孔眼(19,20.]。我们也已经确定。由于这个原因,所有量绝对值括号之间的积极的,因此,括号不需要写。
取幂表达我们获得了重新安排,我们获得 在哪里是一个积分常数。它可以由考虑发射行为的观点。如果缠绕角度,然后电弧长度的变化通过(即。,the length of one loop) corresponds to a change ofθ通过。
因此在发射点等于,最后(Od) = cosΦ。(缠绕角度Φ根据定义等于纱的角度()平面,因此这个结果是完全赞同的表情我们以前建立的。)在这一点上纱线的张力等于剩余包内的纱线张力,。如果两个表达式用于(26),我们得到 方程(26)可能会因此被写成 在平行圆柱包密集平行绕组,无因次角速度约等于1。设置在(26我们获得 这个结果已经建立了弗雷泽et al。6),但我们的方程(26)持有。在一个即交叉卷绕包 在哪里的缠绕角度的纱线目前解除。这意味着在交叉卷绕包,无量纲角速度不等于1,但是它比1在解除向后的方向()和小于1在前进方向的解除()。
纱部分的摩擦表面幻灯片和经验从较低的层,价值的张力降低发射点剩余价值。同时,角增加从解除其价值指向的值在发射。这两个现象之间的关系给出精确的(28)。
方程(19)可以写成 使用近似的和~,谭~,我们获得
沿纱线张力的降低摩擦系数成正比,如预期。摩擦系数越大,越短的滑动段纱线。导数也和这个角成比例,从而减少发射点附近的更大很大,但解除小点的密集平行卷绕角吗几乎等于零。
7所示。结论
我们已经展示了如何包表面上的运动方程可以获得纱线运动的一般方程考虑摩擦力。外部力量有两个组件:包表面的法向力和摩擦力。我们已经描述了的似稳近似的有效性条件被用来简化二维问题的运动方程。我们还表明,运动方程的简化的滑动纱可以建立一个二维问题分析的主要结论。一节,我们展示了如何包表面纱线的幻灯片可以纱线张力的降低残余纱,这是如何与滑线的形式。更准确的解决方案的问题,然而,只有获得使用一个完整的数值解的方程使用射击方法6,19,20.]。另一个非常有趣的方法求解运动方程的纱线会Ji-Huan他描述的方法的使用。分析解决方案可以使用变分迭代方法获得或同伦摄动方法综述8,21,22]。