文摘
实践证明,全球任何一阶线性非齐次自治差分方程周期定义为一个线性算子与巴拿赫空间封闭范围有一个平衡。这个结果是扩展到高阶线性非齐次系统在真实的或复杂的欧几里得空间。工作积极性高的早期作品史密斯(1934、1941)和基斯的论文(1961)和Bas (2011)。
1。介绍
让是一组,让是一个正整数。据说转换是周期性的如果 在哪里是相同的函数和这个属性是最小的正整数。它遵循从(1),是一个双射。如果有一个拓扑和是连续的,那么(1)意味着是一个同胚。
以下问题是造成史密斯(见[1):任何欧几里得的连续周期性转变讨论总是承认一个固定的点吗?史密斯知道答案是正确的如果的转换是一个质数(见[2])或一个质数(见[1])。此外,史密斯时能够肯定地回答这个问题定期和适当的转换,当。但这是kist所示(见[3]),存在周期转换的欧几里得空间没有固定的点。kist的例子是基于结果摘要(4]。
特殊的周期性转换可以从差分方程。
考虑到阶差分方程: 在那里,(G)是一个正整数,是一组,。
很明显的解决方案(2)是唯一由初始值: 在哪里。独特的解决方案(2)和(3)是用,在那里。
我们给一些基本定义的周期性(2)。
定义1。假设(G)。(一)一个序列在如果有一个正整数被称为周期这样是周期,这意味着对所有。(b)我们说(2)是全球周期是否有一个正整数全球的方程周期性的;也就是说,每个解决方案的周期。(c)我们说(2)是全球定期与黄金时期如果它是全球定期和这个属性是最小的正整数。
很容易看到,(2)是全球定期与黄金时期当且仅当转换定义为 是周期。
周期性的一般的差分方程,看到5,6]。线性差分方程的周期被认为是在7]。
我们回想一下解决方案(2)是一个稳态解,在那里是一个平衡的2);也就是说,遵循
即使有一个指标和是连续的,这仍然是一个开放的问题来确定(2)不是一个平衡点,或者等价转换(4)有一个固定的点,如果2)是全球周期性。
在本文中,我们解决这个问题对于一些线性方程。
让代表实数领域或复数领域。在这篇文章中,这个词向量空间中没有明确提及标量场将引用一个向量空间或以上。
考虑到阶非齐次线性差分方程: 在那里,(一)是一个正整数,是一个向量空间,是一个线性变换,是一个向量。
的阶齐次线性差分方程关联(6)是
显然,如果(6)是全球周期性的,任何两个解的差异也周期。另一方面,非齐次方程的通解(6)可以写成齐次方程的通解的总和(7)和任意固定的非齐次方程的特解。因此,全球周期性的非齐次方程意味着全球周期性相关的齐次方程。人们很容易看到相反的声明也是如此,如果非齐次方程有一个很明显的稳态解定期对任何。
由此我们得出以下。
结论。如果(6)有一个平衡,然后(6)和(7)的行为以同样的方式对全球周期性;也就是说,他们都是全球全球周期性或不都是周期性的。
上面的应用程序中的关键不言自明的是,并不是所有的非齐次线性自治差分方程有一个平衡。但这个关键是消除这项工作的主要定理的两种特殊情况(6)。
在第一个结果有限维。
定理2。考虑的系统阶非齐次线性差分方程:
在那里,(B)
是一个正整数,矩阵,是向量。
如果(8)是全球周期,那么它有一个平衡。
让是一个向量空间。和意味着身份和零操作符,分别。如果是一个线性变换,我们定义的内核和形象以通常的方式:
在接下来的结果研究了一阶方程。
定理3。考虑一阶非齐次线性差分方程:
在那里,(C)
是一个有界的线性算子的巴拿赫空间到自己这样是关闭,是一个向量。
如果(10)是全球周期,那么它有一个平衡。
2。存在一个平衡在一个抽象的一阶非齐次线性方程
在本节中,我们证明定理3。
首先,我们需要对全球周期性下面的引理。
引理4。考虑一阶非齐次线性差分方程: 在那里,(D) 是一个向量空间,是一个线性变换,然后呢是一个向量。
让是一个正整数。方程(11)是全球定期当且仅当
证明。很容易检查(11)是全球定期当且仅当 对于每一个,但这个条件,(12)是等价的。
备注5。(一)条件(12)等价于
(第一部分14)意味着
自(11)有一个平衡点线性方程
有一个解决方案,从先前的场所,它遵循以下两个断言是等价的。让是一个正整数。(我)如果(11)是全球周期性的,那么它有一个平衡。(2)如果,然后
(b)意味着是可逆的。如果也是可逆的,(16)显然有一个解决方案(或(17)持有),因此唯一有趣的案例是什么时候是不可逆的。
我们可以看到,如果11)是全球周期,那么均衡的存在或不存在的问题会导致一个纯粹的线性代数问题。
问题。让是一个向量空间,让是一个线性变换等对于一些整数。要么证明 或者举个例子是一个适当的子集
如果是一个线性算子的巴拿赫空间到自己这样关闭,那么定理3显示(18)持有。
从今以后我们需要一些符号(见[8])。
定义6。让巴拿赫空间。(一)
意味着它的对偶空间,让表示的价值功能在。对于一个有界的线性算子的到自己的天地,表示其伴随算子。(b)假设的子空间和的子空间。他们歼灭者定义如下:
在定理的证明3将使用以下结果,弗雷德霍姆相关替代(见[9])。
引理7。让巴拿赫空间,让是一个有界的线性算子到自己这样是关闭的。这个方程是可以解决的,当且仅当。
证明。众所周知(见[8)), 和正常关闭吗在。自关闭了, 给结果。
注8。如果是有限维的,然后呢是封闭的,因为每个子空间的是关闭的。在这种情况下引理7正是弗雷德霍姆的选择。
定理的证明3。显然我们可以假设。
方程(10)有一个平衡点线性方程
有一个解决方案。由引理7,这足以证明
证明(24),假设
回忆引理4,我们有
给了。因此,
这意味着。
证明已经完成。
的评论8,我们有以下。
推论9。考虑一阶非齐次线性差分方程: 在哪里是一个线性算子的有限维空间为自己和是一个向量。如果(28)是全球周期,那么它有一个平衡。
我们通过一个例子说明定理的条件3不仅可以满足,有限维的情况。
示例10。让是有界的巴拿赫空间纯量值函数上确界的常态
定义的函数通过
并介绍以下有界的线性算子在:
然后,不可逆的(备注吗5(b),这是一个有趣的案例)
是一个封闭的子空间的。
很容易看到,方程
或者说,对于每一个
是全球定期当且仅当在这种情况下,它有平衡的观点。
前面的示例可以扩展如果标量是复数。让是一个整数,定义函数通过 在哪里 是一个原始的根的团结。然后;方程 是全球周期,解决方案与主要时期。
3所示。定理的证明2
我们将使用以下符号。
定义11。让是一个整数。(一) 将意味着维的向量空间块向量与条目。(b)真正的向量空间块矩阵的条目将用(和可视为是相同的)。(c)零矩阵和单位矩阵是用和,分别。
让是一个给定的序列。然后对任何固定我们引入一个维状态向量: 定义为。
众所周知(见[10]),通过状态向量符号,(8)可以写成一个维一阶差分方程组。
引理12。对于任何,的解决方案(8)和(3是如果 的解决方案是 同伴的矩阵和块向量可以写在形式
在开发的另一伴矩阵11]。
之间存在一一对应的全球周期性(8)和(40平衡(之间),也8)和(40)。
引理13。(一)让是一个整数。方程(8)是全球定期当且仅当(40)也在全球范围内周期。
(b)是一个平衡的8是如果是一个平衡的40)。
现在我们首先证明了主要结果。
确认
作者要感谢裁判的有益的意见和建议改进的表示。本文由匈牙利国家科学研究基金会资助。K101217。