文摘
使用Lyapunov-Krasovskii功能方法,我们建立一个新的结果,保证一定multidelay的周期解的存在性的二阶非线性泛函微分方程。通过这项工作,我们扩展和改善一些早期导致文学。
1。介绍
众所周知,周期解的存在性的问题推迟二阶泛函微分方程的不仅是非常重要的在后台应用程序,而且还在理论上有重大意义的微分方程。此外,推迟泛函微分方程的范围非常一般。例如,它包含常微分方程、差分方程、积分微分的方程,等等。本文的动机是,近年来研究周期解存在的各种各样的迟钝的二阶泛函微分方程已成为最具吸引力的主题之一。特别是,通过使用度理论的著名的延拓定理(见盖恩斯和延拓1]),许多作者有很多有趣的贡献的主题迟钝的二阶泛函微分方程。在这里,我们不愿意让这些作品的细节。
另一方面,在取得优秀的成果,其中一个就是著名的吉泽章定理(2]推迟泛函微分方程的周期解的存在,有至关重要的影响,在文献中已广泛应用。这个定理也被一般的一个最好的结果在文献中从过去到现在。应该注意的是,在1994年,赵et al。3]证明了四个充分性定理的存在周期解一类延迟功能差异的存在周期性的解决方案。通过这项工作,作者证明了定理比过他的(2)周期解定理主要是通过删除限制的大小恒定延迟。应用程序的一个例子是结束的时候。也就是说,在同一篇论文中,作者应用以下定理讨论的存在周期解的二阶非线性时滞微分方程: 在哪里是一种外力,延迟的回复力,延误是一个积极的常数和摩擦速度成正比,和是一个积极的常数。应该注意的是,一个反馈系统,摩擦速度成正比,外部力量,延迟的回复力,可以写成(1)(见伯顿4])。
考虑以下一般非自治时滞微分方程: 在哪里,,是一个积极的常数,我们假设是连续的,周期,需要关闭的有界集有界集;和初始值问题的解是唯一的,可以比,或等于或小于。在这里连续函数的巴拿赫空间吗上确界范数;,是开放的球在;。标准存在理论,看到伯顿(4),显示,如果和,那么至少有一个持续的解决方案这样,在令人满意的(2),和是一个积极的常数。如果有一个封闭的子集这样的解决方案仍在,然后。此外,象征表示一个方便的规范吗与=。让我们假设是连续},表示在特定的,这。最后,通过周期性,我们意味着有一个这样是周期性的,如果感觉是一个解决方案(2)所以。
定义1。解决方案(2)是一致有界如果为每个存在这样暗示(见伯顿(4])。
定义2。解决方案(2)是绑定的一致终极有界在如果为每个存在一个这样暗示(见伯顿(4])。
第一个定理给出了赵et al。3)是这样的。
定理。如果解决方案(2最终有界的束缚,然后(我)方程(2)有一个周期性的解决方案,是有界的,(2)如果(2自治),那么(2)有一个平衡的解决方案,是有界的(见赵et al。3])。
定理B。假设,下列条件:(1) 是一个周期性的连续函数,是一个连续可微的函数,(2) ,有一个有界集包含原点,这样在;补的设置吗,(3) 。然后,(1)有一个定期运动。
此外,当,是一个常数,在上述条件下(1)有一个不断地运动,不断满足。事实上,从条件(2),有一个有界集包含原点,这样和在;补的设置吗。
在本文中,我们考虑下面的二阶非线性微分方程与多个常数延迟,: 在哪里是固定的常量延迟;质数(3)表示分化有关,,,,,连续函数在各自的论点吗,,,,分别,也只取决于明确的参数显示。这些函数的连续性是一个存在的充分条件的解决方案(3)。也假定为基本功能,,,在满足李普希兹条件。这种假设,解的唯一性(3)是保证。衍生品存在,是连续的。应该注意的是,在整个论文中,有时候,和缩写为和,分别。
我们写(3)系统形式如下: 在哪里。
很明显,(3()是一个特定的情况2)。应该注意的是,考虑或动机的原因(3)来自以下修改Lienard类型方程的形式: 这些类型的方程在理论上有很大的应用程序和应用程序的微分方程。因此,直到现在,定性行为,稳定,有界性,全球存在周期解的存在性,等等,这些类型的微分方程已被许多研究人员研究,以及关于这些主题的研究仍在进行。例如,我们参考书籍的读者艾哈迈德和饶5],伯顿[4),盖恩斯和延拓1],江诗丹顿的论文6],Graef [7),黄和Yu (8),金9),刘和黄10),Napoles巴尔德斯(11,钱12],Tunc [13- - - - - -21],c . Tunc和大肠Tunc [22),赵et al。3周],[23,这些作品的引用文献。
我们这里提供一定的担保存在的一个充分条件周期性的解决方案(3)。本文的灵感来自于论文和提到在文献中。我们的目标是推广和改进应用程序中给出(3)(3)。本文也贡献调查定性行为的弱智的二阶泛函微分方程,它可能是有用的关于上述主题的研究人员的工作。最后,不使用著名的定理延续度理论,这属于盖恩斯和延拓1),我们证明以下主要结果。这种情况下让本文的话题有趣。
2。主要结果
我们的主要结果如下。
定理3。我们假设有积极的常量,,,,这样,下列条件:(我)
,(2)
,有一个有界集包含原点,这样在;补的设置吗,(3)
,有一个有界集包含原点,这样在;补的设置吗,(iv)
是一个周期性的连续函数。
如果,然后(3)有一个周期性的解决方案。
此外,,常数,在上述条件下(3)有一个不断地运动,不断满足。
证明。定义Lyapunov-Krasovskii功能:
在哪里一些积极的常数是决定在之后的证据。
评估的时间导数在系统(4),我们得到
通过注意的假设定理和估计,一个人可以获得以下估计:
然后,它遵循
让和。事实上,这些选择暗示
在对函数的连续性和周期性的看法和假设,它遵循一个有界集与包含原点和积极的常数这样
因此,我们可以写
从过去的估计,我们可以到达的坐标系统的解决方案4)最终有界正的常数。另一方面,是一个连续周期函数,如果和那么,定理的假设,它可以很容易地看到,有一个常数在这样
自和作为,那么它可以选择积极的常数这样
因此,我们可以得出结论,有一个积极的常数这样坐标系统的解决方案4)满足为。
在类似的方式,如果和那么,定理的假设,它可以很容易地跟着时间导数的功能这是一个常数在这样
自和作为,那么它可以选择积极的常数这样
然后,我们可以得出结论,有一个积极的常数这样坐标系统的解决方案4)满足为。在聚会上面的讨论中,可以看到,系统的解决方案4最终有界。因此,(3)有一个周期性运动(解决方案)。当,常数(3)有一个不断地运动。从(3),可以看出常数是由。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。