文摘
让是一个非空的紧凑凸拓扑向量空间的子集。在这个paper-sufficient存在的条件这样,在那里是所有多值映射的不动点的集合和是所有解决方案的集合向量均衡问题的向量值映射。这使我们推广和改进一些存在的结果在最近的引用。
1。介绍
让豪斯多夫拓扑向量空间,这样一个多值映射的不动点,在那里表示,家庭的子集意味着一个点在这样和所有固定的点的集合用。多值映射的不动点定理的研究开始从冯·诺依曼1在连续多值映射的映射。从那时起,各种概念的多值映射的不动点定理研究了(2- - - - - -4]。最近,多值映射的不动点定理推广和改进了许多作者:看,例如,(5- - - - - -10]。
另一方面,布卢姆和Oettli[引入的平衡问题11]和诺尔和Oettli [12)在1994年作为变分不等式的推广和优化问题。均衡问题的理论提供了一个新颖的和广泛的联合治疗类的问题出现在经济、金融、图像重建、生态、交通、网络、弹性,和优化。这一理论已经有了很大的影响和影响发展的几个分支的纯粹与应用科学。古典均衡问题的例子是变分不等式优化问题,和互补的问题。目前,许多结果向量变分不等式解的存在(简而言之,VVI)和向量平衡问题(简而言之,VEP)已经建立了(见,例如,(13- - - - - -20.])。更广义的)和((VVI)作为特例,我们假设和豪斯多夫拓扑向量空间,是一个非空的凸子集的,一个指出封闭的凸锥在吗与智力。让是一个集值映射和对于一个给定的矢量值映射这样为每一个向量拟均衡问题(VQEP)和矢量性不平等(VQVI),分别是:找到这样 在哪里,用所有的连续线性算子的空间吗来:看,例如,(21- - - - - -26)和引用。
从我们提到的不动点定理的重要性和平衡问题,我们有一个问题找到的灵感,当设置这两个问题的解决方案将有一个共同的解决方案,而不是一个空集。
回答这个问题,我们假设是一个集值映射,对于一个给定的向量值映射这样为每一个,让我们一起多值映射的不动点问题的向量平衡问题;特别是,它是找到这样 这个问题显示了关系的多值映射的不动点和向量均衡问题的所有问题的解决方案(2)是用。这个问题包括向量拟均衡问题(简而言之,VQEP)和矢量性(简而言之,VQVI)作为特殊的情况。
本文的主要目的,我们提供了充分条件,并证明存在解决方案之间的交叉设置的多值映射的不动点和所有解决方案的集合向量平衡问题通过使用Fan-Browder不动点定理的推广。我们也研究存在的解决方案之间的交叉设置的多值映射的不动点和矢量变分不等式的解集。因此,我们的研究结果扩展向量拟均衡问题的存在性定理和矢量性。
2。预赛
在这篇文章中,除非另有说明,我们假设,豪斯多夫拓扑向量空间,是一个非空的凸子集的和一个指出封闭的凸锥在吗与智力。从问题(2),一些特殊情况如下。
(我)如果对所有,然后问题(2)降低向量均衡问题(简而言之,):找到这样 所有解决方案的集合用向量均衡问题。
此外,如果我们设置和,然后减少了所有的平衡问题解决方案用:找这样
(2)如果和,然后问题(2)减少问题:找到这样 此外,这个问题包括准平衡问题(简而言之,开销考虑,研究了林和公园(27这是找到这样
(3)如果对所有问题(3)降低矢量变分不等式(简而言之,):找到这样 问题的解集(7)是用,在那里,用所有的连续线性算子的空间吗来。
此外,如果和,然后减少的变分不等式组的解决方案是用:找这样
(四)如果对所有,然后问题(2)减少是找到以下问题这样 这个问题显示之间的关系意义上的十字路口多值映射的不动点和矢量变分不等式问题的所有解决方案(9)是用。
让我们回忆起一些概念和属性需要在这个续集。考虑到多值mapp,逆的多值映射来自哪里的范围,,定义为 映射在某种程度上是连续的吗当且仅当对任何社区的,有一个社区的这样。
定义1(见[28])。让和拓扑向量空间。让是一个非空的子集和点闭凸锥与,在那里表示的内部拓扑。一个bifunction据说是强烈pseudomonotone如果对任何, 一个映射据说是- - - - - -如果所有凸和所有, 和映射据说hemicontinuous如果所有和所有,
备注2。如果和,然后(1)的强烈的pseudomonotonicity减少的单调性(例如,对所有)。事实上,,这意味着和是等价的;(2)的凸性的减少的凸性(例如,)。
定义3(见[29日])。让是一个拓扑空间,让是一组地图据说有吗当地的交点属性如果为每个与有一个开放的社区的这样。
下面的引理是有用的在下面,可以发现在30.]。
引理4。让是一个拓扑空间,让是一组,让用非空的值是一个地图。然后,以下是等价的。(我) 有当地的交点属性。(2)存在一个地图酸处理为每一个,为每一个开放和。
随后,布劳德(2)获得1986年以下不动点定理。
定理5 (Fan-Browder不动点定理)。让是一个非空的紧凑的豪斯多夫拓扑向量空间和凸子集是一个地图和开放的纤维(即非空的凸值。,因为,被称为纤维的在)。然后有一个固定的点。
Fan-Browder不动点定理的推广获得了Balaj和伤31日2005年),如下所示。
定理6。让是一个紧凑的凸子集和与非空的凸映射值在当地的交点属性。然后有一个固定的点。
3所示。主要定理
在本节中,多值映射的不动点的存在解决方案,将向量均衡问题。要做到这一点,下面的引理是必要的。
引理7。让是一个非空的和凸子集。让是一个集值映射,这样对于任何,非空的凸子集的吗。假设是一个hemicontinuous在第一个参数中,在第二个参数凸,pseudomonotone强有力。然后下面的语句是等价的。(我)找到这样和。(2)找到这样和。
证明。(我)(2)很明显的pseudomonotone强有力。
(2)(我)让这样
对于任何和,我们设置所以我们有因为是凸的。假设,我们认为
自是在第二个参数和凸(15),我们得到
这意味着由于是一个凸锥那么。自是一个在第一个参数和hemicontinuous吗作为,我们有对所有。因此我们获得
这就完成了证明。
定理8。让是一个非空的紧凑的凸子集,让是一个强pseudomonotone hemicontinuous在第一个参数凸,l.s.c.这样的第二个参数对所有。让是一个集值映射,这样对于任何非空的凸子集的吗和任何,是开放的。假设一组是开放的和任何,。然后。
证明。对于任何,我们定义了集值映射通过
同时,我们定义了集值映射通过
然后我们有是凸的。事实上,让和。自是在第二个参数凸,我们
然后因此是凸的。自是凸的,那么也是凸。
的定义,我们看到,确实没有定点,假设有吗这样。是不可能的,然后所以。因此一个矛盾,。使用的对换的定理6,我们获得当地没有交点属性。定义了集值映射通过
从pseudmonotonicity强有力的,我们有对于任何。接下来,我们将为每个显示是开放的。对于任何,我们表示的补充通过。自是关闭,l.s.c.在第二个参数,我们有吗是封闭的所以是开放的。我们注意到,
因为对于任何,,,是开放的,我们有什么是开放的。因此,通过对换的引理4,我们有
因此,存在这样对所有。这是。如果然后,这与假设矛盾。因此,和。这意味着和对所有。这就完成了由引理证明7。
下面的例子担保的假设,在那里。
示例9。让,,。对于任何,我们定义两个映射和通过
很明显,非空的凸子集的吗和是开放的。如果对所有,然后这意味着,。这表明是pseudomonotone强有力。让和由于,我们获得
然后是在第二个参数凸,很容易看到在第一个参数和l.s.c. hemicontinuous第二个参数。
请注意,
如果,然后其中包括。也包含对所有。否则,对于任何。这是确认集合为每一个(见图1)。此外,本例中断言是开放的因为它等于是开放的。
采取对所有在定理8,我们有以下结果。
推论10。让是一个非空的紧凑的凸子集和是一个强pseudomonotone hemicontinuous在第一个参数凸,l.s.c.这样的第二个参数对所有。然后,有一个解决方案。
如果我们将向量值映射,然后定理8减少引入以下推论布劳德(见[2定理1])。
推论11。让是一个非空的紧凑的凸子集。让是一个集值映射,这样对于任何是一个非空的凸子集的和任何是开放的。然后存在在这样。
推论12。让是一个非空的紧凑的凸子集,让是一个单调,hemicontinuous在第一个参数和凸,l.s.c.这样的第二个参数对所有。让是一个集值映射,这样对于任何是一个非空的凸子集的和任何,是开放的。假设一组是开放的和任何,。然后。
让是一个空间的线性连续的运营商来。一个映射据说是强pseudomonotone如果它满足 它被称为hemicontinuous如果对所有和所有,映射是连续的。
作为一个直接后果的定理8,我们得到以下的结果。
定理13。让是一个非空的紧凑的凸子集,让是一个强pseudomonotone, hemicontinuous。让是一个集值映射,这样对于任何,非空的凸子集的吗和任何是开放的。假设一组是开放的和任何,。然后存在这样
证明。我们定义向量的值映射通过
我们将显示满足所有条件的定理8。很明显的假设,我们有是强pseudomonotone, hemicontinuous在第一个参数。让是固定的。对于任何和,我们获得
然后是在第二个参数凸。
接下来,我们将显示在第二个参数l.s.c.。让是固定的。让和的社区。由于线性算子是连续的,存在一个开放的社区的这样对所有,因为是一个社区的。因此对所有,。因此,第二个参数是连续的,所以l.s.c.第二个参数。那么所有定理的假设8因此,存在这样
这就完成了证明。
如果我们把对所有在定理13,我们有以下推论。
推论14。让是一个非空的紧凑的凸子集,让是一个强pseudomonotone, hemicontinuous。然后,有一个解决方案。
如果我们将和在定理13,我们有下面的结果。
推论15。让是一个非空的紧凑的凸子集,让是一个单调和hemicontinuous在第一个参数。让是一个集值映射,这样对于任何,是一个非空的凸子集的和任何,是开放的。假设一组是开放的和任何,。然后。
备注16。(1)定理8和13的扩展向量拟均衡问题和向量性,分别。
(2)如果是一个真正的巴拿赫空间,那么必然的结果10在(定理2.328]。
承认
第一作者要感谢高等教育委员会办公室泰国支持资助基金项目战略下加入博士项目奖学金泰国这个研究在格兰特CHE-Ph.D博士学位。-SW-RG / 41/2550,泰国。