文摘
错误估计了求解拉普拉斯block-grid多边形的边值问题的方法包含常量,难以准确计算。因此,该方法的实验分析可能是至关重要的。的真实特征block-grid方法求解拉普拉斯方程在多边形缝隙被实验的调查分析。数值结果表明,近似解的收敛性的顺序是一样的在一个平稳的解决方案。为了说明奇异点周围的奇异行为,高度精确的形状近似解,求二阶偏导数的数据给出的“奇异”域的一部分。最后给出一个高度精确的公式来计算应力强度因子,这是断裂力学的一个重要物理量。
1。介绍
在过去的几十年里,为了提高准确性和解决收敛困难出现在附近的奇异点,提出了许多不同的方法平面椭圆边值问题数值解的奇异性。在许多方法,特别重点一直放在建设相结合的方法,在微分属性域的不同部分的解决方案(见[使用1])。
在[2- - - - - -6)一个新的结合difference-analytical方法称为block-grid方法(BGM)给出求解拉普拉斯方程在多边形,当引起奇异的边界函数的顶点作为arclength的代数多项式。该方法的组合指数收敛块方法(参见[7,8“奇异”部分),和有限差分方法,结构简单的“非奇异的多边形的一部分。一个阶上胶操作符是构建网格和块粘合在一起。BGM的一致估计的误差(网格步)时的边界上给定的边界函数非奇异的部分可能来自Holder类,(见[2- - - - - -4],(6],(5])。错误的以衍生品(),估计在一个有限的社区获得的顶点,在哪里距离当前点到顶点,然后呢的内角的价值被认为是顶点。此外,BGM可以给一个简单的和高度精确的应力强度因子公式是一个重要的数量从工程的角度看。
block-grid方法的试验研究是重要的,数值结果可以有趣的支持理论的结果(2- - - - - -6]。本文的目的是分析的实际特征BGM求解拉普拉斯方程在多边形缝隙。为此广场上的缝隙问题域的精确解是已知的。计算算法的BGM潜油电泵和九分计划和实施。给出的数值结果证明理论获得的结果在2- - - - - -5]。此外,近似解(九分方案)和误差函数给出了图形演示block-grid方法的精度高。偏导数的形状,,,,说明了“奇异”的奇异行为领域的一部分。此外,一个简单的和高度精确的公式计算应力强度因子。
实验分析了狭缝的问题有不同的方法在许多论文(见[9,10])。
2。狭缝的问题和解决方案的积分表示
让是一个开放的领域在平面上,从单位获得广场通过减少在正半轴从中心(见图1)。让,,是双方,包括结束,枚举逆时针方向,,的边界,双方形成的内部角吗和。表示由 这个角的顶点,让是一个极极的坐标系统的角是逆时针方向从侧面。
我们考虑到边值问题 在哪里和函数的值吗在。
在附近的,我们构造两个固定block-sectors,,在那里,。
让 在哪里 泊松积分的内核是一个单位圆。
引理1。解决方案边值问题(1),(2)可以表示形式 在哪里曲线边界的一部分吗。
证明。遵循定理3.1的证明(8考虑到)。
3所示。狭缝Block-Grid方法问题
BGM的实现问题的解决方案(1),(2)如下。让和是一个多边形线位于与积极的顶点的距离从曲线边界的。点的集合从到用这被称为“奇异”的一部分和一组是“奇异”的一部分。除了部门在附近的顶点多边形的我们构建两个部门和。让和,,是固定的矩形(见图1)。那么域可以表示成。让矩形的边界和。我们定义一个正方形网格,,一步这样的边界是完全在网格线。表示网格节点的集合,表示节点的集合和。我们将关闭组节点作为节点的集合作为和剩余的节点的集合作为。我们也介绍了自然数,,。在电弧,我们选择的点,,表示这些点的集合,让。
让,在那里给定的函数(2)。我们引入一个粘合操作符,([5]和[2- - - - - -4])的点集。我们表示问题的近似解(1),(2)获得的潜油电泵方案为,九分方案为,“奇异”(“非奇异的”)的一部分。操作员在每个点定义吗在以下方式:我们考虑所有矩形的集合在十字路口的点谎言,我们选择其中一个矩形部分的边界位于是最远的距离。的值在点根据计算的值函数的四个顶点,细胞的闭包,包含点网格的构造通过多重线性插值。
的价值在点线性表示的值在点,网格的构造部分的边界位于最大的距离是什么,在的边界值,在一个固定数量的点。此外,有表示 在哪里, 和精确解的问题(1),(2),我们有
备注2。让是这样的设置点,所有的点的表达式(6)是在。如果一些点在(6通过侧)出现当,,我们表示的集合点通过。然后,根据建设在[4)的表达式每一点可以表示如下: 在哪里 对应于这些点的线垂直于。
考虑为每个以下线性代数方程组: 在哪里
定理3。有一个自然数这样对所有,为每一个系统(11)- (14)有一个独特的解决方案。
我们认为该行业,让,的值,系统的解决方案(11)- (14)(求积节点)。这个函数 上定义称为一个近似解的问题(1),(2)封闭块。
到处都低于我们将表示常量是独立的代数余子式的和正确的为了简单起见。
定理4。存在一个自然数这样,对于 在哪里是一个固定数量,下面的不平等是有效的: 对所有。到处都是,是一个问题的解决方案(1),(2)。
证明。证明进行类比推理证明的定理1和2 (3]。
4所示。计算算法
让,在那里,,是一个固定数量,和都是整数。我们引入一个正方形网格线,,,是一个整数,,。让,和一组节点(边界),
我们认为对于每一个有限差分的问题 在哪里是一个给定的函数最后,消失点。
问题的解决方案(25使用叠加原理可以找到)解决四个问题的总和的类型
问题的解决方案(26),当有表示 在哪里 对潜油电泵近似(11), 九分的近似(12]。
离散快速傅里叶变换用于实现有限的资金(27)。问题的解决方案(26),可以近似地表示。
现在我们描述了算法实现BGM的狭缝的问题。
步骤1。假设我们有近似为零确切的解决方案(11)- (14)。
步骤2。发现由公式(13)我们解决了系统(11),(12在每个网格)利用有限差分的表示解决方案之前描述的步骤1。
施瓦兹作为停止准则的迭代(30.),我们使用的不平等对规定的精度。
第5步。让,,,(14求积节点)的值为最后的迭代。使用这些值可以计算解决方案的价值在任何时候奇异部分由显式公式
5。数值结果
部分的计算算法4应用和实施block-grid方法是使用双精度。让,,是“奇异”部分中的错误错误的“奇异”域的一部分。
在表1的错误是BGM潜油电泵方案时使用插值法,迭代终止使用。表2代表BGM的错误当九分方案使用和停止施瓦兹的迭代是作为标准。
收敛的顺序在“非奇异的”部分,与收敛的“奇异”的一部分是 分别在哪里是一个正整数,是最后的迭代数(节4),。采取,、表3和4代表订单收敛BGM的“非奇异的”和“奇异”域的一部分为和,分别。
在表中获得的数值结果3和4表明,近似解的收敛性对潜油电泵方案插值这是九分的方案插值在“非奇异的”部分。在两个表中,收敛阶的“奇异”部分高于订单的收敛“奇异”域的一部分,这证明了估计(19在定理4。错误对求积节点的数量在“奇异”部分和“非奇异的“BGM的一部分,给出了数据2和3,分别。这些数据表明“奇异”部分的误差小于误差足够大的“非奇异的”部分此前的估计(19在定理4。数据的图形化的结果4- - - - - -9BGM当九分得到的方案是使用插值的,。在图4高度精确的近似解和精确解说明了。图5代表了误差函数的减少在“奇异”域的一部分接近为零,它同意估计(19在定理4。此外,“奇异”部分,二阶导数的网格点的解决方案是由一个简单的近似有效差异化的功能(31日)。一阶偏导的形状,显示在图6和形状 ,给出了数据7,8,9分别显示解决方案的奇异行为在奇异点。
(一)
(b)
(一)
(b)
5.1。应力强度因子
工程问题中一个非常重要的常数是所谓的应力强度因子。这个常数给“的扭力梁断裂发生之前可以忍受”(10,13]。的基础上(31日我们给一个简单的和高度精确的应力强度因子公式表示由为: 在哪里和是最后的迭代数。应力强度因子的精确值是。固定数量的求积节点,第二列在表5代表了应力强度因子的误差潜油电泵方案时使用最后一列表示这个错误当九分方案使用。
6。结论
拉普拉斯方程的解在多边形缝隙,真正的block-grid方法的特点是调查。给定的多边形分解为五个重叠的矩形和一个部门。在这个行业,我们近似的特殊积分表示解决方案,考虑行为的终点附近的精确解的狭缝。在矩形近似拉普拉斯方程在正方形网格潜油电泵方案是使用简单的通过稀疏,或使用九分方案,给出了高度精确的近似。在对应使用的有限差分格式,一个子系统进行有效的粘合在一起足够简单的线性插值,或者一个高度精确的插值。通过选择步长,获得的数值结果表明,该近似解的收敛性对潜油电泵方案这是九分的方案在“非奇异的”部分。结果还表明,“奇异”部分的收敛阶收敛比订单的“奇异”域的一部分。这个结论证明的理论结果2- - - - - -5]。此外,形状的二阶导数的高度精确的解决方案获得BGM显示显示奇异行为在狭缝的终点。最后,应力强度因子是由给定的高度精确的近似公式。