文摘
最近,Alghamdi和Mursaleen(2013)使用汉克尔矩阵来确定极限必要条件找到Walsh-Fourier系列的总和。在本文中,我们提出使用汉克尔矩阵以及任何一般非负正则矩阵获得的必要和充分条件和派生的傅里叶级数和傅里叶级数共轭。
1。介绍和预赛
让和是两个序列空间,让是无限矩阵的或复杂的数字。我们写前提是收敛为每个。一个序列据说是可和,如果。如果意味着,然后我们说定义了矩阵变换成并通过我们表示此类矩阵的类。如果和装备有限制吗- - - - - -和- - - - - -分别和- - - - - -- - - - - -对所有,然后我们说是普通地图的成在这种情况下我们写。的矩阵被称为常规的,在哪里表示所有收敛的空间序列。
以下是著名的Silverman-Toeplitz条件规律。
引理1。 定期当且仅当吗(我) ,(2) 为每一个,(3) 。
一个汉克尔矩阵是普通矩阵的一种特殊情况;也就是说,如果然后矩阵被称为汉克尔矩阵。即汉克尔矩阵是一个方阵(有限或无限),不断在每个对角正交的主对角线。它的条目的函数。的汉克尔变换序列被定义为序列,在那里提供的级数是收敛的。一个操作员这转换成所述叫做操作符由汉克尔矩阵。在[1)我们可以找到汉克尔运营商的应用程序近似理论,预测理论和线性系统理论。汉克尔矩阵有很多应用在各个领域。
最近,Al-Homidan [2证明汉克尔矩阵正则和获得共轭傅里叶级数的和在一定条件下在汉克尔矩阵的条目。最近,Alghamdi和Mursaleen3]证明了汉克尔矩阵是强烈的常规。强正则矩阵的矩阵变换几乎收敛序列到收敛序列离开限制不变(4]。
我们的目标是找到汉克尔矩阵的充分必要条件以及任意非负正则矩阵和派生的傅里叶级数和傅里叶级数共轭。
2。主要结果
让是可积和周期性,让傅里叶级数的是 然后系列共轭 和派生系列
让,表示的部分和系列(1),(2)和(3分别)。我们写 在哪里。
我们建议证明以下结果。
定理2。让是一个函数的勒贝格可积和周期与。让是一个汉克尔矩阵。然后为每个,汉克尔矩阵变换的序列是;也就是说, 当且仅当 对于每一个,在那里代表所有的函数有界的变化。
在接下来的结果,我们取代汉克尔任意非负矩阵的正则矩阵的结果Al-Homidan [2]。
定理3。让是一个函数的勒贝格可积和周期与。让是一个非负正则矩阵。然后变换的序列收敛于;这是 当且仅当 对于每一个,每个。
3所示。证明
我们需要下面的引理,被称为巴拿赫弱收敛定理(5]。
引理4。 对所有当且仅当对所有和。
定理的证明2。我们有
在哪里
然后
在哪里
自有界变差和作为也相同的属性。因此通过乔丹的傅里叶级数的收敛性判据作为。
自汉克尔矩阵是常规的,我们有吗
现在,它足以证明(6)当且仅当
因此,由引理4由此可见,(14)当且仅当
和(6)持有。自(15由引理)满意1(我),(14)当且仅当(6)持有。因此结果立即跟随。
定理的证明3。我们有 因此 在哪里 现在,在极限双方(17),使用前题1和4在定理的证明2,我们得到所需结果。
注6。如果我们替换矩阵通过定期任意非负矩阵在定理2饶的,我们得到定理16]。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项工作是由院长以来科研(域),阿卜杜拉国王大学,吉达,在批准号130 - 072 d1434。因此,作者承认,由于安全域的技术和财政支持。