文摘

一个用户友好的算法基于新的同伦摄动Sumudu变换方法(HPSTM)提出了解决非线性部分气体动力学方程。分数阶导数是卡普托意义上。此外,同样的问题(ADM)由Adomian解决分解方法。这两种方法得到的结果一致,因此这项技术可能被认为是一种高效的方法,发现线性和非线性分数微分方程的近似解。HPSTM Sumudu变换的组合形式,同伦摄动方法和多项式。非线性项可以很容易地由他多项式的使用。该方法得到的数值解表明,该方法很容易实现,计算非常有吸引力。

1。介绍

分数阶微积分的应用数学处理任意订单的微分和积分。在过去的十年中,分数微积分发现应用程序在许多看似不同的科学和工程领域。分数微分方程正越来越多地用于流体力学模型问题,音响、生物学、电磁学、扩散、信号处理、和许多其他物理过程(1- - - - - -19]。

存在一个广泛的类的文学处理问题分数微分方程的近似解与各种不同的方法,称为微扰方法。摄动方法有一定的局限性;例如,近似的解决方案涉及到一系列的小参数带来了困难由于大多数根本没有小参数的非线性问题。虽然有时候小参数的适当选择导致理想的解决方案,在大多数情况下不适合选择导致严重的影响的解决方案。因此,分析方法是受欢迎的,不需要小参数方程建模这一现象。

最近,有一个非常全面的文献回顾一些新的渐近方法寻找孤独的解决方案的非线性微分方程,非线性差分方程和非线性分数微分方程;参见[20.]。同伦摄动法(HPM)首次引入了他(21]。HPM也研究了许多作者处理线性和非线性方程中出现各种科学和技术领域22- - - - - -32]。Adomian分解方法(ADM) (33)和变分迭代法(VIM) [34)也被应用于研究各种物理问题。

在最近的一篇论文,辛格et al。35)注意研究线性和非线性偏微分方程的解决方案通过使用同伦摄动Sumudu转换方法(HPSTM)。HPSTM Sumudu变换的组合,HPM的多项式和主要是因为Ghorbani和Saberi-Nadjafi36]和Ghorbani [37]。

在本文中,我们考虑下面的非线性time-fractional气体动力学方程的形式 与初始条件 在哪里是一个参数描述分数导数的顺序。这个函数是概率密度函数,是时间,是空间坐标。卡普托的导数是理解意义。一般响应表达式包含一个参数描述分数导数的顺序,可以进行调整,以达到不同的反应。在的情况下部分气体动力学方程减少经典气体动力学方程。气体动力学方程是基于物理守恒定律,即质量守恒定律、动量守恒、能量守恒等。研究了非线性部分气体动力学之前通过Das和库马尔(38]。

进一步,我们应用HPSTM和ADM解决非线性time-fractional气体动力学方程。本文的目标是扩展的应用HPSTM获得分析和近似解time-fractional气体动力学方程。HPSTM的优点是它的能力相结合的两个强大的方法获取精确和近似解析解非线性方程。它提供了解决方案的收敛级数与轻松可计算的组件在一个直接的方式不使用线性化,扰动或限制性的假设。值得一提的是,HPSTM能够减少计算工作的体积比经典方法,同时仍然保持高精度的数值结果;减少大小相当于一个改善性能的方法。

2。Sumudu变换

在90年代初,Watugala [39)引入了一个新的积分变换,名叫Sumudu变换和应用常微分方程的解决方案在控制工程问题。Sumudu变换,定义在函数的集合 由以下公式:

一些属性被Weerakoon建立在[40,41]。在[42Aşiru],进一步也建立了基本属性的变换。同样,这种变换应用于一维中子输运方程(43由Kadem]。事实上这是表明,有一种强烈的Sumudu和其他积分变换之间的关系;看到Kılıcman et al。44]。特别是Sumudu变换和拉普拉斯变换之间的关系被证明在Kılıcman和Gadain [45]。

此外,在Eltayeb et al。46],Sumudu变换是扩展分布和它们的一些性质也研究Kılıcman和Eltayeb47]。最近,这种变换应用于解决微分方程组;看到Kılıcman等人在48]。

注意,关于Sumudu变换是一个非常有趣的事实,原函数及其Sumudu变换泰勒系数除了相同的因素;看到张(49]。因此,如果然后;看到Kılıcman et al。44]。同样,发送Sumudu变换组合,排列,,因此这将是有用的在离散系统。

3所示。分数阶微积分的基本定义

在本节中,我们提到下列基本分数阶微积分定义用于进一步的摘要。

定义1。Riemann-Liouville部分积分算子的秩序的一个函数,被定义为(5] Riemann-Liouville部分积分,我们有

定义2。的分数阶导数卡普托意义上的定义是【10] 为,,。
Riemann-Liouville部分积分和卡普托分数导数,我们有以下关系:

定义3。卡普托分数阶导数的Sumudu变换定义如下(50]:

4所示。解决方案,同伦摄动Sumudu变换方法(HPSTM)

4.1。HPSTM的基本理念

为了说明该方法的基本思想,我们考虑一般的分段非线性非齐次偏微分方程的初始条件的形式 在哪里卡普托分数阶导数的函数吗,是线性微分算子,代表了一般非线性微分算子源项。

本文应用Sumudu变换(表示)两侧(11),我们得到 使用Sumudu变换的性质,我们有 操作的两边Sumudu逆(14)给 在哪里代表这个词起源于源项和规定的初始条件。现在我们应用HPM: 和非线性项可以分解 他是多项式(37]给出的 用(16)和(17)(15),我们得到 的耦合和HPM Sumudu变换使用他的多项式。比较喜欢的系数的权力获得以下近似: 继续以同样的方式,其余的组件可以完全获得,因此系列解决方案是完全确定的。最后,我们近似解析解通过截断系列: 上述系列解决方案一般收敛迅速。

4.2。问题的解决方案

考虑非线性time-fractional气体动力学方程如下: 与初始条件 应用两侧Sumudu变换(22),受初始条件(23),我们有 意味着Sumudu反变换 现在应用HPM,我们得到的 在哪里和是他的多项式37)表示的非线性项。所以,他的多项式给出 他的头几个组件的多项式给出 和,我们发现 比较喜欢的系数的权力,我们有 因此,系列解决方案 设置在(31日),我们重现问题的解决方案如下: 这个解决方案相当于封闭形式的精确解: 现在,我们计算概率密度函数的数值结果对不同time-fractional布朗运动= 1/3、2/3,1和不同的价值观和。近似解的计算结果(31日)通过使用HPSTM和精确解(33不同的值),如数据所示1(一)- - - - - -1 (d)这些为不同的值和在描绘在图2。

这是观察到的数据1和2那增加而增加和随的增加而减小。数据1 (c)和1 (d)清楚地表明,当近似解(31日目前获得的)方法非常接近精确解。是指出,只有三阶项的HPSTM是用于评估数据的近似解1和2。很明显,目前方法的效率,可以大大增强进一步的计算HPSTM时使用。

5。解决方案,Adomian分解方法(ADM)

5.1。ADM的基本理念

为了说明ADM的基本思想(51,52),我们考虑一个通用部分非线性非齐次偏微分方程的初始条件的形式 在哪里卡普托分数阶导数的函数吗,是线性微分算子,代表了一般非线性微分算子源项。

应用算子双方(34)和使用结果(9),我们有 接下来,我们分解未知函数到的和无限的组件的分解级数 和非线性项可以分解 在哪里是由Adomian多项式 的组件确定递归用(36)和(37)(34)导致 这可以写成 Adomian方法使用正式的递归关系

5.2。问题的解决方案

考虑非线性time-fractional气体动力学方程如下: 与初始条件 应用算子双方(42)和使用结果(9),我们有 这给下面的递归关系使用(41): 在哪里 使用结果(7),(5)和(43)给 因此,分解级数解 这是通过使用HPSTM获得相同的解决方案。

从表1,观察到近似解的值在不同的网格点得到HPSTM和ADM接近精确解的值与高精度第三近似。它也可以指出近似精度随着订单的增加。

HPSTM的第三个迭代的解决方案之间的比较和第二个迭代解决ADM在图给出3。

是观察到的和这两种方法之间,有一个很好的协议。

6。结论

摘要同伦摄动Sumudu变换法(HPSTM)和Adomian分解法(ADM)成功申请解决非线性time-fractional气体动力学方程。数值解表明,两种方法之间有一个很好的协议。因此,这两种方法非常强大和有效的技术来解决不同类型的线性和非线性分数微分方程出现在不同领域的科学和工程。然而,HPSTM有优势的ADM是它不使用Adomian多项式解决非线性问题。总之,HPSTM和ADM可能被认为是一个不错的改进现有的数值技术,可能会发现广泛应用。

承认

作者感谢裁判他们宝贵的建议和意见的改进。