文摘
我们使用再生核希尔伯特空间方法来解决基于边值问题。基于边值问题的精确解获得复制内核空间。近似给出的解决方案是使用一个迭代法和有限段法。目前的方法揭示了更有效且方便的与其他方法相比。
1。介绍
再生核希尔伯特空间的方法已被证明(1- - - - - -7有效地解决,容易和准确很大一类线性和非线性,普通,偏微分方程。然而,在(1- - - - - -7),它不能被直接使用和混合边界条件的边值问题,因为它是很难获得再生核函数满足复杂的非线性边界条件。这项工作的目的是为了填补这一缺口。在[8),我们给一个新的再生核希尔伯特空间四阶微分方程边值问题的求解奇异线性混合边界条件。在本文中,我们使用新的功能再生核希尔伯特空间方法来解决基于非线性边值问题。
单一的基于边值问题出现在气体动力学、牛顿流体力学,流体力学,流体力学,弹性,反应扩散过程,化学动力学和应用数学的其他分支。
让我们考虑下面的类的单一的基于混合边值问题: 在哪里()是已知的功能。()线性条件。我们假设(1属于)有一个独特的解决方案,在那里是一个复制内核空间。
备注1。如果(),然后(1)是一个初值问题。如果(),然后(1)是一个多点的问题等等。也就是说,问题(1),而一般形式。
让和,。
考虑
这是很容易证明的是一个有界的线性算子。另一方面,我们假设线性条件也可以永远是均质;化的这些条件后,我们把这些条件复制内核空间在以下部分构造。方程(1)可以转化成下面的形式:
2。再生核希尔伯特空间
定义2。让是一个真正的希尔伯特空间的功能。一个函数被称为复制内核如果(我) 对所有,(2) 对所有和所有。
定义3。一个真正的希尔伯特空间在一组的功能被称为再生核希尔伯特空间如果存在一个复制内核的。
一个定义了内积空间绝对连续函数,。
的内积是由
定理4(见[8])。的空间是一个复制内核空间,其内核是繁殖
为研究的解决方案(1在均相的形式),我们给空间(6)如下: 配备相同的内积吗。在下面,我们构造一个复制内核空间,我们为前题5和6。
引理5。让是一个有界的线性算子;函数复制内核的空间吗。让;然后,在那里表示任何复制内核空间的函数,象征表明运营商适用于变量的函数和象征表明运营商适用于函数的变量和。
证明。考虑
引理6。如果,,被定义为在引理吗5,让;考虑到空间那么,复制内核的空间吗。
证明。对于任何接下来,我们将证明。
考虑
让,,,,,象征()表明,操作员()适用于函数的变量。利用引理6,我们得到定理7。
定理7。的空间是一个复制内核空间,其内核是繁殖
3所示。分析解决方案
让,。通过gram - schmidt正规化,,我们得到 在哪里是系数造成Gram-Schmid正规化。
引理8。如果不同的点密度和是存在的,那么是一个完整的功能系统。
证明。对于每一个固定,如果,然后 考虑的密度,它的结果。由此可见,存在的。
定理9。如果不同的点密度和是存在的,那么 是一个解析解(3)。
证明。 可以扩展到傅里叶级数的标准正交基的吗在如下:
4所示。数值解
我们定义一个近似解通过
定理10。让,在那里和是由(12)和(14);然后实数序列是单调递减,。
证明。我们有 很明显,因此是单调递减的感觉吗。由定理9,我们知道是收敛的准则;然后我们有 因此,。
定理11(收敛性分析)。 和一致收敛到和,,在那里和是由(12)和(14)。
证明。对于任何,, 然后存在这样
数值解(3)可以获得使用以下方法: 的系数,由方程 使用(19)和(20.),我们有,。所以,的近似解(3)。
5。数值实验
在本部分中,研究了两个数值例子来证明本方法的准确性。
示例12。考虑以下5次与模边条件边值问题(这个问题的右边有一个奇点,): 在哪里。确切的解决方案是。并给出了数值结果表1。
示例13(见[9])。考虑以下5次边值问题(这个问题的右边有一个奇点): 精确解在哪里吗。通过齐次边界条件的过程,让,这个问题可以转化为等价的形式 表中给出的数值结果2,3,4。
6。结论和讲话
在本文中,一个新的复制内核空间满足构造巧妙地混合边值条件。这使得很容易解决这样的问题。此外,问题的精确解可以表示串联形式。数值结果表明,新方法很准确和高效的基于常微分方程的奇异问题。所有计算都使用Mathematica 7.0执行软件包。
确认
作者想表达他们的感谢未知的裁判,仔细阅读并有用的评论。本文支持内蒙古自然科学基金项目(2013 ms0109)和应用技术研究和开发内蒙古的基础。