文摘
最近,最坏的收敛速度的成立Douglas-Rachford交替方向法的乘数(小组ADMM)遍历性意义。放松近点算法(PPA)是一种泛化的原始PPA包括Douglas-Rachford小组ADMM作为一个特例。在本文中,我们提供一个简单的证明同样的收敛速度放松PPA的遍历和nonergodic感官。
1。介绍
有限维变分不等式(VI),用,是要找到一个向量这样 在哪里是一个非空的闭凸集的和是一个单调映射的为本身。解集,用被假定为非空的。我们指的是(1- - - - - -4]VIs各领域的关键角色如经济学、运输和工程。
众所周知,近点算法(PPA),提出了最初在5和主要发达国家在6,7),是一个成熟的方法来解决。让是当前近似的解决方案(1);然后PPA生成新的迭代通过求解以下辅助六世: 在哪里是一个积极的常数。相比单调VI (1),(2)更容易处理,因为它是一种强单调VI。在本文中,我们专注于放松近点算法(PPA)提出的高尔'shtein和添头'yakov (8),它结合了PPA步骤(3)和放松一步(3 b)如下:
在哪里松弛因子和吗是一个对称半正定矩阵。特别是,中亚松驰因子称为什么时候或者一个超松弛因子时,放松PPA减少原始PPA (2)当和。为了方便起见,我们仍然使用符号代表非负数字在我们的分析。
乘数的Douglas-Rachford交替方向方法(小组ADMM) Glowinski提出的方案和Marrocco (9)(参见[10])是一种常见的工具来解决线性约束的凸极小化问题和一个可分离的目标函数如下: 在哪里,,,,闭凸集和吗:和:是光滑凸函数。小组ADMM求解的迭代计划(4)th迭代跑的一样
在哪里和是一个积极的常数。所示(11),小组ADMM可以视为放松PPA的一个应用(即。,the original PPA (2)), 没有进一步的假设,矩阵前面定义可以保证对称半正定矩阵。最近,他和元12显示最糟糕的收敛速度的小组ADMM计划(5),(5 b)和(5度在一种遍历。你等人在13]证明了相同的拉格朗日PPA-based收缩方法的收敛速度与非对称线性近端一种遍历。本文的目的是建立放松PPA的收敛速度(3)和(3 b)遍历和nonergodic感官。
2。预赛
在本节中,我们回顾一些预赛这有助于进一步讨论。更特别,我们回忆起一个有用的特征的变分再形成(4),小组ADMM的关系(9,10],和放松PPA [8为解决这个变分再形成。
首先,我们提供一个有用的特征在[定理2.3.514和定理2.112]。
定理1。的解集是凸的,可以用吗
基于定理1,可以被视为一个吗光纤的解决方案如果它满足 在哪里是定义一些紧集。1 (15),我们可以
在下面,我们将给出一个变分再形成(4)。很容易看到,模型(4)可以表现为一个变分不等式问题:找到这样 在哪里 请注意,映射是单调,因为和是凸的。所示(11),小组ADMM方案(5),(5 b)和(5度与下面的迭代计划)是相同的周期性的意义: 基于定义(6)的矩阵,我们可以重写(11个),(11 b),(11 c)和(12)的一个特例放松PPA立即。
引理2。对于给定,让由小组ADMM生成计划(11个),(11 b)和(11 c)。然后,一个 在哪里和是由(10 b)和(6),分别。
3所示。的收缩放松近点的算法
在本节中,我们证明PPA的收缩放松。首先,我们给一个重要引理。
引理3。让序列和是生成的放松PPA (3)和(3 b),让是一个对称半正定矩阵。然后,一个
证明。首先,使用(3),我们有 自(见(3 b)),我们有 因此,它就可以证明 通过设置,,,的身份 我们得出, 另一方面,使用(3 b),我们有 结合过去的两个方程,我们得到(17)。断言(14)立即跟随。完成证明。
证明引理,我们现在准备的收缩放松PPA (3)和(3 b)。
定理4。让序列和是生成的放松PPA (3)和(3 b),让是一个对称半正定矩阵。然后,对任何,一个
证明。设置在(14),我们得到 另一方面,是单调,,我们有 它遵循从先前的两个不等式 完成证明。
4所示。遍历性坏收敛速度
在本节中,我们将建立一个遍历最坏收敛速度PPA,之后的放松迭代的算法,我们可以找到这样 与和。
定理5。让和生成的序列轻松PPA (3)和(3 b),让是一个对称半正定矩阵。对于任何一个整数,让 然后,一个和
证明。从(14),我们有 自是单调,从以前的不平等,我们有什么 加法不平等(29日)/,我们获得 自,是一个凸组合的因此。使用的符号,我们得到 断言(27立即)遵循从之前的不平等。
它遵循从定理4序列是有界的。根据(21),序列也有界。因此,存在一个常数这样 回想一下,是平均的。因此,我们有。对于任何,我们得到 因此,对于任何给定的后,最多迭代,我们有 这意味着是一个近似解的的准确性。也就是说,最坏的收敛速度放松PPA的遍历性意义。
请注意,这是一种遍历性和收敛速度是前一个向量的凸组合以同样的重量。可能会问如果我们可以建立相同的收敛速度直接nonergodic意义上的序列生成的放松PPA (3)和(3 b),这是下一节的主要目的。
5。Nonergodic最坏收敛速度
本节显示,轻松PPA有坏的nonergodic意义上的收敛速度。首先,我们建立了两个重要的不平等在接下来的前题。
引理6。让序列和是生成的放松PPA (3)和(3 b),让是一个对称半正定矩阵。然后,一个
证明。设置在(3),我们有 请注意,(3)也是如此,因此我们有 设置在前面的不平等,我们获得 添加(36)和(38)和使用的单调性我们得到了(35立即)。
引理7。让序列和是生成的放松PPA (3)和(3 b),让是一个对称半正定矩阵。然后,一个
证明。首先,添加项 (双方的35),我们得到 重新排序在前面的不平等,我们得到 用这个词(见(3 b的左手边)过去的不平等,我们获得(39)。完成证明。
接下来,我们证明是单调nonincreasing。
定理8。让序列和是生成的放松PPA (3)和(3 b),让是一个对称半正定矩阵。然后,一个
证明。设置和的身份 我们获得 插入(39)的第一项的右边最后一个平等和使用,我们获得 断言(43)立即跟随。
与定理4和8,我们可以证明最坏的收敛速度PPA nonergodic意义上的放松。
定理9。让序列和是生成的放松PPA (3)和(3 b),让是一个对称半正定矩阵。然后,对任何整数,一个
证明。加法不平等(21)/,我们获得 根据定理8,序列是单调nonincreasing。因此,我们有 断言(47从()之前48)和(49立即)。
请注意,凸和关闭(见定理呢1)。让。那么,对于任何给定的,定理9表明,放松PPA (3)和(3 b)需要最多迭代,以确保。回想一下,是一个解决方案如果。换句话说,如果,我们有自是一种半正定矩阵。因此从(3),它遵循 这意味着是一个解决方案根据(1)。最坏的收敛速度放松PPA nonergodic来说(3)和(3 b因此建立从定理9。
6。结束语
本文建立了最坏的收敛速度在遍历和nonergodic放松PPA的感官。回想一下,小组ADMM放松PPA的是一个原始的应用程序。因此小组ADMM也一样坏收敛速度在遍历和nonergodic感官。
确认
这项工作得到了国家自然科学基金(批准号11001053),在大学新世纪优秀人才计划(批准号ncet - 12 - 0111),中国和江苏省自然科学基金(批准号BK2012662)。