文摘
我们暴露时间反演的非线性系统的混沌吸引子,进一步落实其行为在电子电路,应用实用主义的渐近稳定性理论严格证明给主人和奴隶系统的自适应同步可以实现具有不确定参数。本文时间反演洛伦兹系统的各种混乱的运动通过李雅普诺夫指数,调查阶段画像,和分岔图。为进一步应用复杂的信号在安全通信和文件加密,我们构建电路显示类似的时间反演洛伦兹系统的混沌信号。此外,实用主义的渐近稳定性定理和一个假设的概率各态历经的初始条件(Ge et al ., 1999年,通用电气和Yu, 2000年松,1972)提出了严格证明,自适应控制可以实现成功。当前的自适应控制方案传统李雅普诺夫稳定性定理和Barbalat引理,用于证明错误vector-approaches零,随着时间趋于无穷。然而,为什么核心或给定的参数估计方法确定parameters-remains没有答案。通过新的稳定性理论,这些估计参数可以严格证明了逼近不确定的值,和仿真结果如本文所示。
1。介绍
非线性动力学,通常称为混沌理论,改变了科学的方法观察自然和社会系统的动态,已深入研究在过去的几十年里(1- - - - - -11]。混乱的现象引起了广泛的关注在数学家,物理学家和工程师也进行了广泛的研究在许多领域,如化学反应(12,13),生物系统(14,15),信息处理(16,17,安全通信18- - - - - -21),和休息。
虽然许多研究人员分析复杂,身体上的动力配置,还有一个需要调查简单方程在一个完全不同的眼前看来,这可能捕获混乱在不涉及环境的本质,从而帮助基本特征的理解。大多数国际知名和经典非线性混沌系统应该“洛伦兹系统”,这是一个非同寻常的三维非线性系统最初由数学研究气象学家洛伦兹(22混乱),发现在一个简单的三个自治常微分方程组来描述1963年简化瑞利的问题。之后,洛伦兹系统的非线性行为被视为一个重要的研究课题,以及大量的文章关注洛伦兹系统及其广泛的系统(称为洛伦兹系统的家庭或Lorentz-like系统)研究[23- - - - - -26]。
尽管Lorentz-related系统作了彻底的研究,大多数现有的文章是研究这类系统通过改变参数,添加另一个非线性项(反馈控制),或者输入额外的信号参数或反馈。此外,有一些文章27- - - - - -29日]在研究时间尺度变化是否存在不同的现象在非线性系统。的研究(27- - - - - -29日]只专注于不同的时间尺度,非线性系统微分对负时间不碰这样的文章。因此,在这篇文章中,我们遵循通用的艺术和李30.)扩大新视野洛伦兹系统-时间和表达丰硕的在这个时间反演洛伦兹系统动力学。的提出和深入理解时间反演混沌系统的物理本质是非常有利于进一步研究动态丰富的混沌系统。最重要的是,提出时间反演洛伦兹系统仍满足条件刘,这是通过定义和巴博萨31日]。另一方面,为进一步应用混沌信号安全通信和文件加密,我们构建电路显示类似的时间反演洛伦兹系统的混沌信号。相同的初始条件和参数之间的比较给出了MATLAB和电路,它显示了很高的相似性。
同步的混沌系统是至关重要的在各种各样的应用程序中,包括安全通信、生理、和非线性光学。因此,在最初的工作后佩科拉和卡罗尔32在相同的混沌系统的同步与不同的初始条件,许多方法已经提出了混沌和超混沌系统的同步。然而,大多数用于同步的方法只有两个系统完全已知的结构和参数,但在实际情况,部分或全部系统的参数不能完全在先天的。结果,越来越多的混沌同步在保密通信中的应用使它更重要的同步两种不同的动力学系统,近年来不确定参数。在这方面,一些工作在两个不同的动力系统不确定参数的同步执行(33- - - - - -37]。在目前的自适应同步方案,传统李雅普诺夫稳定性定理和Barbalat引理是用来证明向量误差趋近于零,时间趋于无穷时,但为什么这些估计参数的方法的问题仍然没有答案不确定值。在这篇文章中,实用主义的渐近稳定性定理和一个假设的概率各态历经的初始条件(38- - - - - -40用于严格证明那些估计参数方法的不确定值。通过新的稳定性理论,这些估计参数可以严格证明了逼近不确定的值,和仿真结果如本文所示。
剩下的论文的布局如下。节2、古典和时间反演洛伦兹系统介绍,考虑到比较完整的信息。节3,实用主义的自适应同步方案。节4,自适应主人-奴隶的RTR同步系统通过独断的渐近稳定操作,和well-performed仿真结果。节5,给出结论。
2。洛伦兹系统和时间反演洛伦兹系统
首先,让我们回顾一下经典洛伦兹系统[21),这是一个非凡的数学气象学家洛伦兹提出的三维非线性系统。著名的方程是显示为: 给定的初始条件和参数,,混乱的(1)出现,参数和满足条件:。混乱的行为(1)如图1。
(一)
(b)
时间反演洛伦兹方程提供如下(30.]:
很明显,(左手边的2),衍生品是用时间。我们将旨在表达富有成效的时间反演洛伦兹系统的非线性行为,理解与经典。仿真结果排列在桌子上1。
当初始条件和参数,,混乱的时间反演洛伦兹系统的出现,参数和也满足条件:。混乱的行为(2)如图2。
(一)
(b)
为了验证电路,我们实现了使用电子电路仿真模拟包(以前称为电子工作台,EWB)。给出了电路如图3比较仿真结果图2。电子电路的配置混乱的时间反演洛伦兹系统给出的图4。电压输出归一化到0.1 V,运算放大器被认为是理想的。因此默认的初始条件是(−0.01 V, 0.02 V和0.03 V)。大部分的相图绘制在300 - 400年代的时间间隔。一步是0.001秒的时间。两者的相图下面给出的仿真结果表明,混沌信号产生的电子电路可以执行高相似性与原来的一个理想的仿真工具生成的。因此,电子电路产生的混沌信号具有较高的可控性和可用于加密的信号或文件。
(一)
(b)
(c)
(d)
古典和之间的不同和相似的动力学信息时间反演洛伦兹系统详细报道通过分岔图、李雅普诺夫指数,和表。完整的仿真结果对动态系统分为三个部分。第1部分:改变,用,固定的,仿真结果如图所示5。第2部分:改变,用,固定的,仿真结果如图所示6。第3部分:改变,用,固定的,仿真结果如图所示7。
(一)
(b)
(一)
(b)
(一)
(b)
3所示。实用主义的自适应同步方案
3.1。自适应同步方案
有两个相同的非线性动力系统,主系统控制的奴隶。主系统是由 在哪里表示一个状态向量,是一个不确定的常系数矩阵,是一个非线性向量函数,是一个向量的确定常系数。
奴隶系统是由 在哪里表示一个状态向量,是一个估计系数矩阵,是一个向量的估计系数在吗,是一个控制输入向量。
我们的目标是设计一个控制器,所以混沌系统的状态向量(3)渐近方法主系统的状态向量(4)。
可以实现混沌同步的的极限误差向量趋于0如下: 在哪里 从(6)我们有 李雅普诺夫函数选择作为一个正定函数 在哪里,,和两列矩阵的矩阵的所有元素是元素和的矩阵,分别。
它的导数以及任何组成的微分方程系统的解决方案(8)和更新参数微分方程和是 在哪里,,选择这,是一个对角矩阵负定,是半负定的功能和参数的差异和。在当前混沌运动的自适应控制方案33- - - - - -37],传统李雅普诺夫稳定性定理和Barbalat引理是用来证明向量误差趋近于零,随着时间趋于无穷。但这个问题,为什么还或给定的参数估计方法确定或目标参数,仍然没有答案。实用主义的渐近稳定定理,可以回答这个问题。
3.2。实用主义的渐近稳定理论
许多问题的稳定实际真正的动力系统是渐近稳定,虽然它可能不是数学渐近稳定。数学从所有初始状态渐近稳定要求轨迹附近的零解决方案必须方法起源。如果只有一小部分甚至几的初始状态轨迹不靠近原点零解不是数学上渐近稳定。然而,当一个事件的发生概率为零,这意味着事件不会发生。如果事件的发生概率的轨迹时,他们没有方法零初始状态为零,实际零解渐近稳定的稳定性,但它不是数学渐近稳定。为了分析这种系统的渐近稳定平衡点的,独断的渐近稳定性定理。
让和两个集合管的尺寸和(),分别,让是一个可微的地图来,然后是Lebesque测量0的子集(40]。一个自治系统 在哪里状态向量,函数是定义在和。让是一个系统的平衡点(11)。然后
定义1。系统的平衡点11)是务实的渐近稳定,提供了初始点这是一个子集的Lebesque测量0的相应的行为轨迹不能确定,而与初始点,相应的轨迹像同意传统渐近稳定(33- - - - - -37]。
定理2。让:正定和分析D,这样的导数通过(11),是半负定。让的m-manifold包括点集,,是一个n-manifold。如果务实,那么系统的平衡点渐近稳定的。
证明。因为每一个点可以通过一个轨迹(11),它是一维的,这些轨迹的集合,是()管汇38,39]。
如果,然后集合是Lebesque测量0的一个子集的。通过前面的定义,系统的平衡点是务实的渐近稳定。
如果一个初始点遍历性选择的概率,初始点的集合是零。在这里,等概率假定每一个点作为初始点选择在附近的平衡点。因此,如果选择初始点的集合实际上并没有发生。因此,在等概率的假设下,实用主义的渐近稳定成为实际的渐近稳定。当初始点落在,,相应的轨迹像同意传统渐近稳定因为初值问题的解的存在性和唯一性,这些轨迹永不满足。
在(9)是一个正定函数的变量,也就是说,错误状态变量和未知和估计参数之间的差异,而是半负定的功能变量。由于错误状态变量的数量总是不止一个,,总是满意,实用主义的渐近稳定定理
和参数估计方法确定参数。实用主义的自适应控制定理。因此,系统的平衡点渐近稳定。等概率的假设下,它实际上是渐近稳定的错误状态变量和参数变量。
4所示。实用主义的适应性RTR的同步主洛伦兹系统,从时间反演洛伦兹系统
在本节中,自适应规律和时间反演(RTR)同步时间反演(对洛伦兹系统负时间)(相对于普通的洛伦兹系统积极的提出了时间)。时间反演洛伦兹系统被认为是奴隶制度,和常规的洛伦兹系统被认为是主系统。这两个方程如下所示。
主system-contemporary洛伦兹系统:
奴隶system-historical洛伦兹系统: 在哪里代表主系统的状态变量,和分别代表了奴隶制度。参数,,,主系统的不确定参数。,,估计参数。,,非线性控制器同步奴隶洛伦兹系统掌握;也就是说, 在误差向量和 从(17),我们有以下错误动力学:
这两个系统将由适当的控制器同步的任何初始条件和更新法律对于那些估计参数。结果,下面的控制器和更新法律是由实用主义的渐近稳定定理设计如下。
选择李雅普诺夫函数为 在哪里,,。
它的时间导数
我们选择更新法律对于那些不确定的参数 通过(21)和(22),可以设计相应的控制器 我们获得 半负定的功能是什么,,,。李雅普诺夫渐近稳定定理是不满足。我们不能获得的共同起源误差动力学(18)和动力学参数(21)是渐近稳定的。实用主义的渐近稳定性定理,是一个6-manifold,,错误状态变量的数量。当和,,取任意值,,是三维的,,是满意的。根据实用主义的渐近稳定性定理,误差向量趋于0,也估计参数的方法不确定的参数。务实的渐近稳定平衡点。等概率的假设下,它实际上是渐近稳定的。仿真结果如图8,9,10,11。
(一)
(b)
(c)
(一)
(b)
(c)
(一)
(b)
(c)
5。结论
本文提出了三个主要贡献。第一个是暴露时间反演非线性系统的完整的信息,这为研究人员提供详细的参数范围遵循和参考;第二个是时间反演实现混沌行为的非线性系统在电子电路,显示了高的修正结果之间通过MATLAB和电子电路;第三个是解决现有问题的非线性科学,应用实用主义的渐近稳定性理论严格证明给主人和奴隶系统的自适应同步可以实现具有不确定参数。给出了一个完整的小说视野观点探讨混沌吸引子,并提供一个严格的数学证明,实现自适应同步,更实用,通过电子电路产生的混沌信号可以被应用到通信安全,文件加密,biosignal模拟等等。
确认
这部分工作是支持UST-UCSD国际卓越中心的先进生物工程由台湾国家科学委员会I-RiCE项目批准号下nsc - 101 - 2911 - i - 009 - 101。这项工作的部分也支持由顶尖大学的目标计划,国立交通大学,教育部,台湾,101 w963合同,部分赞助来自美国陆军研究实验室,并根据合作协议没有完成。w911nf - 10 - 2 - 0022。