文摘
我们使用雅可比的必要条件变分得到研究的周期解空间限制身体问题零质量对飞机的纵轴同等的质量。我们证明得到的拉格朗日行动anti-T / 2或奇怪的对称循环空间必须是一个非常数的周期解;因此零质量必须振荡,不能总是在同一个平面上与其他的身体。这个结果与我们的直觉,小质量应该总是在原点。
1。介绍和主要结果
牛顿n体问题(1)是一个经典的问题。空间限制性三体模型研究了Sitnikov [2]。Mathlouthi [3]等人研究了周期解空间mini-max圆型限制性三体问题的变分方法。
在本文中,我们研究空间圆形限制身体问题零质量对飞机的纵轴同等的质量。假设点质量继续一个圆形轨道质量的中心。零质量的运动是由重力的力量。让和 满足牛顿方程: 在哪里 轨道零质量满足以下方程:
很明显,满足(4);看来,是一个变分得到,但我们将证明它不是这是本文的目标。
定义 然后 在哪里 注意对称有关意大利对称(4]。
在本文中,我们的主要结果如下。
定理1。的最小值在关闭的是一个非常数的周期解;因此零质量必须振荡,不能总是在同一个平面上与其他的身体。
2。定理的证明1
我们定义的内积和等价的标准: 相当于
引理2(宫殿的对称原理(5])。宫殿的对称原理,我们知道的临界点在是一个noncollission牛顿方程的周期解(4)。
让是一个正交有限或小型团体的代表在真正的希尔伯特空间这样对所有,在那里。
让。然后的临界点在也是一个临界点的在。
为了证明定理1,我们需要以下前题:
引理3(见[6])。让是一个反射性的巴拿赫空间,是一个弱闭子集,,是弱下半连续和强制性的(作为);然后达到它的下确界。
引理4 (Poincare-Wirtinger不平等)。让和;然后
引理5。 在(6)达到它的下确界或。
引理6(雅可比的必要条件7])。如果临界点对应于一个最小的功能如果沿着这个临界点,然后开区间不含点共轭;也就是说,,下面的边值问题 只有平凡解,尽管,在那里
注7。很容易看到,引理6适用于固定端问题。在本文中,我们考虑的周期解(2);因此我们需要建立一个类似的结论作为引理6周期边界问题。
引理8。让。假设是一个功能的临界点在和。如果开区间包含一个点共轭,,然后不是最低的功能。
证明。假设是最小的功能。第二个变化是 在哪里 集 对所有,很容易看到。然后,是最小的。欧拉方程的雅可比方程(15)是 由于时间间隔包含一个点共轭,,存在一个非零雅可比令人满意的 让 我们有和 请注意,我们可以扩展定期取随着周期。对所有,很容易检查。然后由(19),有是最小的。因此我们得到 结合和的独特性,为二阶微分方程的初值问题,在,这矛盾的定义。因此,引理8成立。
引理9。半径的运动轨道同等的质量是
证明。由(1)- (3),我们有 用(1)(22),我们有 然后 因此
定理的证明1。很明显,是一个临界点的在。功能(6),让
第二个变化(6在附近)是由
在哪里
的欧拉方程(27)称为原始功能的雅可比方程(6),这是
也就是说,
接下来,我们研究的解决方案(30.)与初始值。很容易得到的
这不是等于零吗,但我们将证明对于一些。
假设存在这样。
因此,对于一些
我们有
通过使用(24)。
例1(减少在)。让,
很容易检查,,,是一个非零的解决方案(30.)。
如果我们把,
它相当于
让
不难检查非单调。但对于,(36通过编写程序来计算)。
因此,对于,我们有这样
请注意,我们可以扩展定期当我们以1为周期,所以。然后通过引理8,不是一个局部最小值在。因此,解在并不总是在质心;他们必须定期振动在纵轴上;即解并不总是与其他机构共面;因此,我们得到了空间的周期解。
例2(最小化在)。让
很容易检查,,,是一个非零的解决方案(30.)。
我们希望;也就是说,
这意味着
计算程序,我们有这样。
请注意,我们可以扩展定期当我们以1为周期,所以。然后通过引理8,不是一个局部最小值在。因此,解在并不总是在质心;他们必须定期振动在纵轴上;即解并不总是与其他机构共面;因此,我们得到了空间的周期解。
我们可以用另一个参数来得到更大。我们构建一个测试函数这样为,在那里是一个非常大的数字。让
我们扩展通过。我们有
编写程序计算,我们发现一个这样。
因此不是一个局部最小值在。因此,解在并不总是在质心;他们必须定期振动在纵轴上;即解并不总是与其他机构共面;因此,我们得到了空间的周期解。
确认
作者要感谢裁判对他/她的许多宝贵的意见和建议。本文由中国国家自然科学基金(11071175)和中国教育部博士项目的基础。