文摘

本文的目的是显示在技术和装备的索洛模型现实的假定种群动态能够解释一个众所周知的程式化事实的增长,也就是说,demoeconomic变量的持续振荡的存在。特别是,我们的分析表明,共存(i)新投资和生产之间的延迟,(ii)出生日期和劳动力的招聘是周期性行为资本积累的源泉。

1。介绍

悠久的传统后,经济增长的理论仍然是主要关心人口增长率不变。只有少数理论论文考虑更复杂的和现实的假设种群动态。例如,Guerrini [1]概括的结果(固定)的存在和全球稳定平衡在索洛模型中,假设有界的,但不一定是常数,人口增长率;范蒂和曼2]Solow-type模型表明,分布式的存在延迟(年龄结构)影响劳动力和马尔萨斯机制与生育和工资率的波动增长来源路径;和Fabiao博尔赫斯(3]研究人口规模波动对资本积累的影响。重要的种群动态的其他情况下可能观察到模型中代理生育和消费之间分配资源(例如,4- - - - - -6])。

摘要的概念是研究Solow-type模型的主要特征之一是引入生殖机制,防止无限制的人口增长从长远来看。特别是,我们假设(i)种群动态是被延迟的逻辑斯蒂方程描述7),提出了一种恒定的承载能力和(2)一个时间来建立技术是生产部门。即,我们介绍两种不同来源的时延:对于第一个假设,这意味着存在一个滞后之间的出生日期和劳动力的招聘;关于第二个,这意味着生产发生延迟而安装新资本(投资妊娠滞后)。两个过程影响资本积累的路径通过生产函数。

有趣的是注意到理论质疑的落后生产活动诱导周期是一个话题,可以追溯到早期经济学家如杰文斯(8]和Kalecki [9),引入新的数学工具研究泛函微分方程(例如,有影响力的书Hassard et al。10])重振这一问题。尽管如此,大部分的文献都集中在投资滞后(例如,11- - - - - -14]),和其他类型的滞后作用的经济增长模型或种群动态和落后生产部门之间的联系却没有得到足够关注。例外是范蒂的论文和曼2之前描述;比安卡和Guerrini15),嵌入问题种群动态的网络结构;范蒂et al。16)研究问题与人口转变和低生育率陷阱的出现在一个模型中系统介绍了与分布式延迟微分方程来描述人口的年龄分布;Guerrini和Sodini17)分析的作用积极或消极的假设恒定的人口增长率与时间来建立一个模型技术;和Ballestra et al。18]认为Kaleckian类型的商业周期模型的负面影响资本存量的增加不成比例地随着资本存量的增大。

在本文,两种假设资本折旧。在第一个假设,假设生产性资本(即。,the capital that actually is used in the productive process) depreciates at a constant rate (e.g., [11])。在第二个,折旧的情况的直接影响投资即使他们还没有创建生产性资本探讨了。第二例代表一个合理的假设,如果我们考虑资本从广义上讲,包括新发明等无形资本,原型和专利。值得注意的是,不同Hongliang和文藻[19可以观察到),商业周期现象,甚至在第二种情况下。

本文组织如下。节2,模型是正式推出。部分3重点是第一个模型规范的研究。节4,第二个模型进行了分析。节5的全局属性模型通过数值模拟研究。部分5总结道。

2。这些模型

2.1。第一个规范

我们引入索洛(20.)模型具有以下特征。我们假设在时间相同的和竞争公司产生一个均匀的好,通过结合资本和劳动力和分别通过规模收益不变的柯布-道格拉斯技术。新投资显示延迟时间前(时间来建立技术)可以用于生产。因此,资本积累的进化是由以下方程: 在哪里是一个积极的参数代表外生技术进步,衡量资本的生产力,是外生常数储蓄率,是国家的价值在时间,是生产性资本折旧的恒定速率(在这个规范,过时仅影响资本当且仅当这最后在生产过程中使用)。

我们假定人口的工人根据延迟发展逻辑斯蒂方程引入哈钦森(见Arino et al。21另一种配方): 在哪里不断的承载能力和吗是国家的价值在时间。请注意,延迟变量的存在捕获之间的滞后的出生日期和劳动力的招聘定义了一个限制人口增长。其他规范(见[16)使用延迟微分方程大多与描述不同年龄组生育率和死亡率有关。

设置,我们有

因此,该模型是描述

2.2。第二个规格

第二个模型不同于第一个淘汰的事实影响资本无论其生产过程中的利用率。因此,(4取而代之的是以下:

设置,我们获得

结果,现在由模型

它是简单的验证系统(4)和(7)有相同的(重要的)平衡。通过设置和,对所有,我们发现存在一个唯一重要的平衡,在那里 请注意,因为上面的种群动态是有界的,技术进步水平是固定的,在目前的工作,不同于Guerrini和Sodini17),并不是一个可行的解决方案和平衡增长路径确定了模型的稳态解,。

3所示。当地分析系统(4)

为了研究系统的局部属性在重要的平衡,我们线性化系统(4)。这给了 可以由特征方程 在哪里是单位矩阵。直接计算表明,上述方程可以写成 在哪里

通过将在(11),我们得到。我们得到这个方程的两个根是负的。因此,平衡是稳定的,以防没有延迟。作为增加,平衡点的稳定性将会改变时(11)正在考虑零个或一对纯虚特征值。前者发生在,这是不可能的。后者处理根的存在(11)。这意味着我们需要调查的时候和/或。不失一般性,由于复杂的根(11)作为复共轭成对出现,我们假设。

引理1。方程(职责。与(职责。),一对纯虚根(职责。),

证明。考虑;也就是说,。分离方程实部和虚部,我们获得 从在(14),和是积极的,它遵循和。我们还获得一个序列的关键值的。接下来,假设;也就是说,。然后 导致和的存在。这个结论的证明。

我们很容易得到以下结果。

命题2。(1)如果,然后特征方程(11)有一对纯虚根在,。
(7)如果,然后特征方程(11)有多个根的多样性两个。

备注3。当系统(4)是一种退化的情况,很难确定的交叉方向特征根通过虚轴。此外,稳定的标准开关无法分析的稳定性开关系统(4)。

从今以后,我们假设,(11)没有重复的根源。

引理4。为,,,很简单的根(11),

证明。这两个和很简单。如果我们假设,通过矛盾,例如,是一个重根呢和导致矛盾。让是特征根的分支(11),这样和。的导数关于在(11),它遵循 然后,我们得到 同样的声明。

因此,一对纯虚根将穿过虚轴从左到右增加。此外,这也收益率霍普夫分岔的存在在平衡时。使用最后一个引理和前面的分析纯虚根的存在性(11),我们可以状态以下定理。

定理5。让,被定义为(13),让,在那里,。(1)的平衡点(4)是局部渐近稳定的和不稳定。(2)系统(4)经历了霍普夫分岔的平衡当,。

4所示。当地分析系统(7)

在本节中,我们考虑到模型所描述的系统(7)。众所周知,Zak的修改模式11]假设资本退化影响当前资本使静止的平衡全局渐近稳定的时滞为任何值(没有可能发生霍普夫分岔)(见[19])。我们将看到,种群动态的引入大大改变了结果。

与前面的模型中,为了研究当地的动力学,我们线性化系统(7)。我们有 相关的特征方程的系统(19)是 并将表单 在哪里 当,所有的根(21)是负的,所以,系统是稳定的。我们会让不同开关和分岔和调查可能的稳定。为变得不稳定,特征根穿过虚轴向右增加。让是一个纯虚根(21)。然后,它满足和/或。让。这可以写成下面的两个方程: 这意味着 因此,没有纯粹的虚构的根源。注意到,定义为(12),它遵循有独特的一双简单的纯虚根在一系列的关键值,在那里和是由(13)。让表示的根(21附近)令人满意的和。然后,下面的横截性条件持有,因此根穿过虚轴从左到右(),增加。自是局部渐近稳定时的最小值,那么它会变得不稳定一个虚根的存在。因此,我们可以得到以下结果。

定理6。让,,被定义为(13),。(1)的平衡点(7)是局部渐近稳定的和不稳定。(2)系统(7)经历了霍普夫分岔的平衡当为。

注7。注意,两模型的分岔值是相同的。

5。数值模拟

为了理解的动态特性模型,让我们考虑一个数值规范有所不同。特别是,我们集 为这个参数规格从定理5,我们有。因此,这两个模型的分岔值是相同的,我们有几个数值实验,验证了该方法相关的动力学非常相似。因此,我们关注的是模型1的模拟。图1显示时长期的进化动力学是多种多样的。有趣的是,分岔后,不同于Guerrini和Sodini17永久),状态变量振荡不稳定平衡。如果增加,增大极限环引起越来越大的振荡。然而,通过几个数值实验中,似乎只有nonchaotic动力学出现。

6。结论

在本文中,我们分析了Solow-type的动力学模型与投资滞后和不稳定但有界的人口。我们已经表明,种群动态和时间来建立技术之间的相互作用可能是一种周期性的引擎资本积累的行为。在形式上,通过应用技术开发的Hassard et al。10为延迟微分方程),我们已经证明一次霍普夫分岔发生滞后通过定期的关键价值和一个家庭从静止的平衡轨道分叉。数值模拟证实在demoeconomic振荡动力学变量的存在。更复杂的结构的时滞和微观经济模型的基础是留给未来的研究。

承认

作者要感谢裁判仔细审查和宝贵的意见。Mauro Sodini承认这工作一直在进行的活动主要项目“本地交互和全球经济和金融动力学:模型和工具,“MIUR,意大利。