文摘
Ramanujan提出加法公式θ的函数,对无限的产品模块化的相关方程。使用这些公式,我们推导出一些身份无限的产品。以同样的精神,我们还可以现在小学和简单证明某些Ramanujan模块化方程的无限的产品。
1。介绍
理论无疑是最著名的和有用的数学定理,如Andrews-Askey类型积分(1] Askey-Roy类型积分(2] 时间积分(3] (),分数微积分方程(4),微积分(5]。有关更多信息,请参考[1- - - - - -5]。
在研究θ的函数是非常有用的工具系列,尤其是在处理方程的形式类似于上面的公式,左手边的是求和,右边是积分。θ的添加剂的身份是Ramanujan的重要贡献之一。使用它,我们给小学和简单证明某些Ramanujan模块化方程的无限的产品。有关更多信息,请参考[1- - - - - -7]。
在他的笔记本8,页面品种马非常],Ramanujanθ定义了以下功能: 在哪里 有时写为 无限的产品从雅可比三重积身份(8,35页]。
在推导的过程中,我们使用以下简单的事实(9,10]: 通过Ramanujanθ的定义函数很容易验证以下身份(8第45页): 从(4),如果,我们有 因此设置和,我们发现 因此,当,我们有 我们有类似的 这些身份的特殊情况可以写成下面的形式,利用雅可比矩阵函数(6,7]: 的作者(6,7]给出简单的证明和非常重要的使用它。
在上面的两种身份,把和,我们很容易获得
2。主要结果
无限的资金和产品被用在数学的许多领域,如配分函数(11- - - - - -14),分形几何9),分数微积分(10),分形时间序列(4),等等。然后它的方程都集中由几个数学家和工程师(15- - - - - -18]。与此同时,它可以用于动态方程,微分方程(19),和偏微分方程20.]。
本文有两个主要目的。首先推导出身份如下:, 在这和。以同样的方式,我们能给的简单和初等证明下列身份Ramanujan [8,11,12]:
3所示。模块化的方程的无限的作品
定理1。为,
证明。请注意,和。由(9),我们得到 从(10),我们有 除以然后应用(分别25),我们得到 乘以我们分别完成的证明(24)。
的证明(19)。让;然后很容易知道和。
一个人
然后我们获得
在(16),让和然后我们有
除以分别时,我们到达
乘(31日),结合(33),然后乘以我们能够获得(19)。
定理2。为,
证明。首先我们回想一下,,和。使用(9),我们有
然后我们很容易知道
在(13)和(14),设置,,,,我们得到
将上述两个方程然后结合(分别37),我们获得
乘以身份(39)和(40)(34)和(35)。
乘法定理的两个改进1和2分别,我们获得身份(18)和(20.)。使用相同的方法,我们可以获得细化的身份(21)和(22),类似于定理1和2;然后我们可以推断出(21),(22)和(23很容易)。证明的细节省略。
以下的结论可以很容易获得。
推论3。为,
确认
这项工作是由美国国家科学基金会中国项目号。11071107,11371184,和U1304103。作者要感谢裁判和编辑了许多宝贵的意见和建议。