文摘
我们解决三个版本的非线性时变Burgers-type方程式。Jacobi-Gauss-Lobatto点作为搭配节点空间衍生品。这种方法的优点是获得解决方案的雅可比参数一个和ß。此外,问题是减少常微分方程组的解(sod)。该系统可以解决任何标准的数值技术。数值解与精确解相比该方法获得的显示,获得的解决方案产生高精度的结果。数值结果表明,该方法精度高,是有效解决Burgers-type方程。的结果表明,该方法是一种强大的算法解决非线性偏微分方程。
1。介绍
光谱方法(见,例如,1- - - - - -3)和引用其中)技术应用于数学和科学计算应用于数值求解线性和非线性微分方程。有三个著名的版本的光谱方法,即加勒金,τ,搭配方法。谱配置方法的特点是提供高度精确的解决方案的非线性微分方程(3- - - - - -6];也已成为越来越受欢迎的解决分数微分方程(7- - - - - -9]。Bhrawy et al。5伯努利]提出了一种新的矩阵法求解高阶弗雷德霍姆积分微分方程与分段间隔。Saadatmandi和Dehghan10)开发的Sinc-collocation方法解决多点边值问题;在这种方法中解决此类问题的计算是解决一些代数方程。Bhrawy和阿洛菲4)提出了spectral-shifted Jacobi-Gauss搭配Lane-Emden-type方程的方法来找到一个精确的解决方案。此外,多哈et al。11)开发转移Jacobi-Gauss搭配方法解决非线性高阶多点边值问题。我们所知,没有结果Jacobi-Gauss-Lobatto搭配方法求解Burgers-type在数学物理方程产生。这部分动力这样的方法很感兴趣。
按时间的偏微分方程,光谱方法研究了几十年来在一些文章。在[12],Ierley等人研究了谱方法数值求解含时一类抛物型偏微分方程周期边界条件。Tal-Ezer [13,14]介绍了谱方法采用多项式近似的切比雪夫最小二乘意义上的进化算子对时间抛物线和双曲线方程,分别。此外,Coutsias et al。15]发达光谱积分法解决一些时间偏微分方程。张(16)应用傅里叶光谱方案在空间一起勒让德谱方法来解决时间偏微分方程,给出了误差的估计方法。唐,马17]介绍了勒让德谱方法与傅里叶近似空间时间一阶双曲方程与周期性边界条件。最近,作者的18)提出了一个精确的数值算法来解决广义Fitzhugh-Nagumo与时变系数方程。
在[20.),贝特曼介绍一维准线性抛物型偏微分方程,而汉堡(21开发它作为湍流的数学建模,并称为一维汉堡的方程。许多作者给汉堡的方程使用各种不同的解决方案的方法。Kadalbajoo和Awasthi22]和Gulsu [23]利用有限差分方法的方法找到解决一维汉堡的方程。Crank-Nicolson方案汉堡的方程是由金,24]。阮和Reynen25,26),加德纳et al。27,28)和Kutluay et al。29日基于Petrov-Galerkin]使用方法,最小二乘有限元,和b样条有限元方法解决汉堡的方程。方法在有限元素搭配的基础上修改立方b样已经被米塔尔和耆那教的调查(30.]。
在这项工作中,我们提出一个J-GL-C数值方法解决以下三个非线性时间汉堡的类型方程:(1)时间1 d汉堡的方程: (2)时间1 d广义Burger-Fisher方程: (3)时间1 d广义Burgers-Huxley方程:
为了获得解决方案的雅可比参数和,利用雅可比多项式的求解微分方程得到了近年来越来越受欢迎(见,31日- - - - - -35])。本文的主要担忧是扩展的应用J-GL-C方法解决三个非线性时变Burgers-type方程式。这将是非常有用的J-GL-C方法进行系统的研究与一般索引。非线性时变汉堡的类型方程只对空间配置变量点,和合适的搭配点,我们使用Jacobi-Gauss-Lobatto插值的节点一般取决于两个参数;这些方程的两点边界条件构成的系统常微分方程(ode)。这个系统可以通过一个可能的方法来解决欧拉等数值分析方法,中点的方法,和龙格-库塔法。最后,演示了该方法的准确性,测试问题。
本文的其余部分组织如下。在下一节中,我们介绍一些雅可比多项式的性质。节3的方式构建Gauss-Lobatto搭配技术使用雅可比多项式非线性时变Burgers-type方程组描述,和部分4该方法应用于非线性时变Burgers-type方程组的三个问题。最后,给出了一些结论5。
2。雅可比多项式的一些属性
标准的雅可比多项式的学位(,? ?)的参数满足以下关系: 让;然后我们定义了加权空间像往常一样,配备以下内积和规范: 雅可比多项式形式的设置完成正交系统, 让是一组多项式的程度,由于标准Jacobi-Gauss求积的性质,因此,对于任何一个, 在哪里(),()节点和相应的克里斯托费尔数字Jacobi-Gauss-quadrature公式的间隔,分别。现在,我们介绍离散内积和规范如下: 为,一个恢复特种球多项式(对称的雅可比多项式)和第一和第二类型的切比雪夫勒让德多项式,分别;和非对称雅可比多项式,两个重要的特殊情况(第三和第四种的切比雪夫多项式)也恢复了。
3所示。雅可比谱配置方法
自从搭配方法近似微分方程在物理空间,很容易实现和适应各种问题,包括变系数和非线性微分方程(见,例如[4,6])。在本节中,我们发展J-GL-C Burgers-type方程组的求解数值方法。
3.1。(1 + 1)维耗散汉堡的方程
1939年,汉堡已经简化navier - stokes方程通过降低压力项获得一维汉堡的方程。这个方程在应用数学有许多应用,如气体动力学的建模36,37),流体动力学的建模,动荡,边界层的行为,冲击波的形成,和交通流38]。在本节中,我们推导J-GL-C方法解决数值(1 + 1)维耗散汉堡的模型问题: 在哪里 边界条件 和初始条件 现在我们假设 如果我们利用(6)- (8),然后我们发现 因此,(14)的形式 或者同样的形式 空间偏导数与尊重在(9)可以在J-GL-C点计算 在哪里 利用(17)和(18)使一个重写(9)的形式: 在哪里 使用方程(19)和使用两点边界条件(11)生成一个系统的常微分方程在时间: 在哪里 然后这个问题(9)- (12sod)转换: 这可能是写在下列矩阵形式: 在哪里 sod (24)在时间上可以使用任何标准技术,解决了隐式龙格-库塔方法。
3.2。(1 + 1)维耗散Burger-Fisher方程
Burger-Fisher方程是一种综合的费舍尔和汉堡的方程。费雪方程首先介绍了费雪(39描述一个突变基因的传播。这个方程有一个广泛的应用在许多领域的化学动力学(40人口增长)、物流(41],火焰传播[42),人口在一维习惯性43在核反应[],中子数44,神经生理学45),自催化化学反应(19),分支的布朗运动过程(40,核反应堆理论(46]。此外,Burger-Fisher方程已广泛应用在各领域的金融数学、应用数学和物理应用程序、气体动力学和交通流。Burger-Fisher方程可以写成如下形式: 在哪里 边界条件 和初始条件 同样的程序部分3所示。1可以用来降低(26)- (29日)系统的非线性微分方程的未知的膨胀系数寻求semianalytical解决方案。这个系统是通过使用隐式龙格-库塔方法解决。
3.3。(1 + 1)维广义Burgers-Huxley方程
赫胥黎方程是一个非线性二阶偏微分方程的形式 它是一个演化方程,描述了神经传播(47在生物学分子CB属性可以被计算。它也给的现象学描述肌凝蛋白的头二世的行为。除了这个非线性演化方程,方程形式和汉堡的方程将调查。有趣的是指出,这个方程包括对流项和耗散项除了其他方面。在本节中,我们推导J-GL-C方法解决数值(维广义Burgers-Huxley方程: 在哪里 受边界条件: 和初始条件: 同样的程序部分3所示。1和3所示。2用于解决数值(30.)- (34)。
4所示。数值结果
说明了本文提出方法的有效性,三个测试例子在这一节中进行。比较的结果的不同选择雅可比参数和显示,目前的方法非常有效且方便的选择和。我们认为以下三个例子。
例1。考虑非线性时间一维广义Burgers-Huxley方程: 受边界条件: 和初始条件: 确切的解决方案(35)是
测量值的近似解之间的差异和实际价值(绝对误差),给出的 在哪里和的精确解和近似解,分别。
的情况下,、表1列出了比较绝对错误的问题(35),(36)和(37)使用J-GL-C方法不同的选择和与参考文献[19),在间隔。此外在表中2和3这个问题的,绝对的错误和各种各样的选择为,在这两个区间和,分别给出。在表4,最大绝对误差的各种选择两个值的是考虑到,在这两个区间和。此外,绝对错误的问题(35)所示的数据1,2,3为,值的参数列在他们的标题,分别在图4,我们策划这个问题的近似解,,,为。这些数据证明这种算法的准确性好所有的选择,,而且在任何时间间隔。
例2。考虑非线性时间一维Burgers-type方程: 边界条件 和初始条件 如果我们应用广义双曲正切法(48),然后我们发现的解析解(40)是
在表5的最大绝对误差(40),(41)和(42)使用J-GL-C的方法,介绍了各种选择在这两个区间和。绝对准确和数值解之间的误差这一问题介绍了表6使用J-GL-C方法与,,和在这两个区间和。在数据5,6,7我们显示的绝对错误的问题(40),不同数量的排序点和不同的选择和在时间间隔参数的值被列在他们的标题。此外,在图8,我们看到,近似解和精确解几乎是同时为不同的值(0,0.5和0.9)的问题(40),,,,,在时间间隔。
例3。考虑非线性时间一维广义Burger-Fisher-type方程: 边界条件 和初始条件 确切的解决方案(44)是
在表7,我们列出了比较绝对错误的问题(44),(45)和(46)使用J-GL-C方法(19]。绝对准确和数值解之间的误差(44),(45)和(46介绍了表8使用J-GL-C方法与分别为,。在数据9和10我们显示的绝对错误的问题(44),在和(和在时间间隔,分别。此外,在数据11和12,我们看到,在间隔近似解和精确解几乎是同时为不同的值(0,0.5和0.9)的问题(44),在和(和),分别。这个断言相比,计算结果是准确的,可以获得良好的分析解决方案。
5。结论
一个高效和准确的数值方案提出了基于J-GL-C光谱方法解决非线性时变Burgers-type方程式。问题是降低sod的解决方案在解决方案的膨胀系数。数值例子证明了该方法的有效性和适用性。结果表明,J-GL-C方法简单、准确。事实上通过选择一些搭配点,得到了很好的数值结果。