文摘
边界层流动问题的主要特征是边界条件的无穷。这种边界条件导致困难的任何系列当应用到解决这些问题的方法。最好的作者的知识,两个程序被广泛使用在过去二十年来处理边界条件在无穷远处,Pade逼近或直接数字代码。然而,一个密集的工作需要使用Pade技术执行计算。关于这一点,本文提出了一个新的想法。这个想法是基于无限域转换到一个有界的帮助转换。因此,原始微分方程转化为一个奇异微分方程与经典边界条件。当前的方法应用于解决Blasius问题和一个特殊的类的类Adomian Falkner-Skan问题通过一个改进版本的的方法(Ebaid, 2011)。此外,数值结果获得通过使用该技术与其他出版解决方案相比,在取得良好的协议。本方法的主要特点是避免Pade逼近处理无穷边界条件。
1。介绍
在过去的二十年里已在边值问题的数值处理无限域。事实上,这些问题经常出现在许多领域如在流体动力学、空气动力学和量子力学。几个值得注意的例子是Blasius Falkner-Skan方程。Blasius方程是一个流体动力学的基本方程。它描述了速度剖面的流体边界层理论(1,2在半无限区间)。提出了几种分析和数值方法(1- - - - - -11)来处理这个问题。Blasius问题的两种形式是由相同的微分方程和边界条件的不同,将在稍后表示。Blasius问题的主要特征是在无穷边界条件的存在。这样的条件在无穷远处造成困难的系列方法,如Adomian分解方法(12- - - - - -14)和微分变换法(或泰勒级数方法)(15,16]。这是因为无穷边界条件不能直接实施的系列,在Pade逼近之前应该建立应用边界条件在无穷。在过去的二十年里,许多作者(17- - - - - -25)已经采取Pade技术或一些数值方法处理边界条件在无穷。虽然结果通过使用Pade技术是准确的在许多情况下,需要大量的计算工作获得精确的近似解。避免Pade技术一个可能的方法是改变边界条件在无穷远处到古典条件。因此,本文提出了一个建议转换从一个无限域问题的领域到一个有界的帮助下一个简单的转换。
根据建议转换、原始Blasius方程转化为一个系统的两个奇异微分方程。因此,通过这个系统描述的两个提到的形式在古典点两组不同的边界条件。转换后的奇异系统将解决ADM的最新版本(26]。第一种形式的原始Blasius问题是由(6] 受如下边界条件: 而第二种形式是由(1)和边界条件如下: 一类是由Blasius问题 受如下边界条件: 在哪里和是有限的常数。这个类将被研究。在这里,它是指出,(2)和(3)是特殊的例子(5)和,分别。此外,类(4)- (5)降低Blasius问题的两种形式(,)和(,),分别。与此同时,当,建议类减少Falkner-Skan问题的一个特殊类,,这是众所周知的27] 的类边界条件(5),指的是压力梯度参数,指的是速度比参数,。方程(6)和边界条件(5)是一个新版本的Falkner-Skan方程有关的自由流速度综合参考速度,也就是说,和拉伸速度的边界和自由流。为了使用改进的Adomian的方法(26解决类()4)- (5),我们首先变换控制方程(4)以下微分方程组: 在这里,我们可能表明在边界层理论,它通常是三个量的重要信息:表面摩擦系数,流体速度和流函数。此外,众所周知,减少问题的两种形式的Blasius问题已被广泛的研究在过去几十年。
2。一个转换和一个新系统
无限域的独立变量可以改变成一个有界的一个通过使用一个新的独立的变量(说)使用转换。因此,调节系统应表达的新变量。为了做到这一点,我们介绍下面的衍生品对之间的关系和衍生品: 的关系(8)是通过微分用链式法则。因此,系统(7)成为 受以下一系列边界条件:
方程(9与初始条件)可以很容易地集成作为一个初值问题,而(10)中给出的边界条件(11)应该作为一个两点边值问题来解决。在这方面,建议改善Adomian分解方法处理这种奇异两点边值问题。开始之前到本文的主要思想,我们给出一个分析改善Adomian分解方法解决(在下一节中10)与通用两点边界条件和。
3所示。改进Adomian分解方法
考虑二阶微分方程: 边界条件 至少一个功能在哪里和有一个奇异点和是一个未指定的函数。为了应用中提出的方法(26),我们首先改写(12), 现在,假设和有相同的奇异点()说,Ebaid [26)提出以下逆算子来解决(14)和边界条件(13): 操作双方(14)这个逆算子,我们有 可以写成 基于Adomian的方法,解决方案和的系统(9)- (10)认为在以下形式: 这些系列插入(17),我们得到 替换和到最后方程收益率 为了克服奇异点的难度,我们可以替换功能以系列形式,在那里。因此,我们有 根据修改后的分解方法18),解决方案可以通过使用评估复发方案: 积分(9)对形式来,然后再是 因此,复发给出的方案: 给出的算法(22)和(24在下一节)应用构造近似的解决方案。
4所示。应用程序
4.1。一个类的Blasius问题
在这里,我们显示如何实现(22)和(24)来解决Blasius类的问题。在替换,,,,到(22),使用(24我们获得 第一个流函数的一些术语评估通过实现前面的算法和在下面列出: 所需的阶近似解表示为通过Adomian的方法 因此,近似的解决方案,,分别是,给定的原始变量作为 这里,我们指的是,先前获得的系列解决方案导致的精确解。在这种情况下,近似解 因此,词是由系列解决方案 因此,下面的精确解: 这个解决方案满足边界条件和可以很容易地验证了直接替换。更多的验证,获得的结果由目前的技术检查通过比较与那些发表在《文学。众所周知,,问题减少到两种形式的Blasius问题。在这种情况下,许多作者表面摩擦系数计算中讨论部分5。
4.2。特殊类的Falkner-Skan问题
在这里,该方法应用于一个特殊的类Falkner-Skan问题。如前所述,这个特殊的类是由(4)- (5)。继续与前面的示例中,近似解可以通过使用递归的方案: 第一个流函数的一些术语评估通过实现中给出的算法(32),在下面列出: 因此,近似的解决方案,,分别是,给定的原始变量作为 这里使用当前技术的有效性不仅获得Falkner-Skan方程的精确解和而且还得到数值解具有良好的精度。在插入成的近似解(34),我们有 为表示节4.1,这些近似解导致的相同的解决方案(31日):的极限。
5。结果与讨论
在,贝尔斯托29日)发现,用幂级数,而戈尔茨坦(30.)获得。此外,使用有限差分法,福克纳(31日)计算,,Horwarth [32收益率,。在[33法齐奥),计算。此外,在34]博伊德托普夫使用的算法获得精确的值。Adomain的方法实现35由Abbasbandy],这是发现,而一个变分迭代法与Pade近似值允许Wazwaz [6)计算值。Tajvidi et al。28]应用修改rational勒让德函数来得到一个值。表面摩擦系数的值在表1在,使用11、13和15的系列(27)。当前的方法发现表面摩擦约等于前面讨论的,这是非常接近这些值。
关于流函数,它是绘制在图1使用15条款,和流体速度描绘在图2使用近似解,,,,在,1。它是观察从图2近似的解决方案使用一些术语Adomian系列迅速收敛到一定的曲线的参数值。
确切的解决方案获得的部分4.2Falkner-Skan方程最近报道了Kudenatti [27]。他得到了Falkner-Skan方程精确解一般的压力梯度值参数。为了检查我们的方法的准确性,表面摩擦系数的值比较表2与完全通过Kudenatti [27)范围内。研究结果表明,一个好的协议取得通过本方法。此外,流函数画在图3在几个参数的值通过使用15的分解级数。在同一价值观,在图4,流体速度是描述使用近似的解决方案,,。从图可以得出结论4我们的结果是一个巧合与准确获得(27)的值1,而其他值的流体速度,不是讨论Kudenatti [27]。
6。结论
一种方法提出了治疗的边界条件在无穷远处边界层方程的主要特征。建议的方法是基于改变边界条件在无穷远处的一个经典的转换。当前方法应用于解决一类Blasius问题和一类特殊Adomian Falkner-Skan问题通过一个改进版本的方法。此外,精确解推导出传动比在一定价值的参数。此外,当前的数值结果与其他出版解决方案相比,在良好的协议。本方法的主要优点之一是避免Pade逼近处理无穷边界条件。