文摘
摘要灭绝和nonextinction属性快速扩散方程的齐次狄利克雷边界条件的有限域与。为在适当的假设下,我们证明灭绝的临界指数的弱解。此外,我们证明解决方案已经灭绝或nonextinct在有限时间很大程度上取决于初始数据和第一特征值与齐次狄利克雷边界。
1。介绍
在本文中,我们处理以下快速扩散方程与梯度吸收条款: 在哪里,,,与与光滑的边界是一个开放的领域,是一个非零的积极功能。
方程(1)出现在很多应用程序来描述扩散的演化过程,特别是快速扩散。在燃烧理论中,例如,函数代表温度,这个词代表了热扩散是一个来源。
灭绝和nonextinction是重要的属性很多进化方程的解决方案,特别是对快速扩散方程。1974年,卡拉什尼科夫(1认为是方程的柯西问题,首先介绍了灭绝的定义解决方案;也就是说,存在一个有限的时间这样的解决方案是重要的,但对所有。在这种情况下,被称为灭绝。
从那时起,许多作者感兴趣的灭绝和nonextinction各种进化方程。下列齐次狄利克雷边界值问题: 顾(2)获得重要的问题的解决方案(2)恒等当且仅当在一个有限的时间,这意味着强烈的吸收会导致灭绝一个有限的时间。更多的结果的灭绝问题(2)也已通过许多研究人员,我们可以参考3- - - - - -7)和引用。因为这种现象的发生的扩散方程有不同的吸收,也就是说,吸收的术语是一个非负函数而不是一个非负函数Benachour et al。8,9)考虑粘性哈密顿雅可比方程的柯西问题如下: 他们证明了这个问题非负古典解(3在有限时间)已经灭绝,如果noncompact支持。
一般来说,在问题(2)和(3),有一个扩散项和吸收项之间的比较,并吸收足够强大的领导任何有界非负解在有限时间为零。然而,尽管这两个源在问题(2)和源在问题(3)被称为“酷”来源,非线性的来源在问题(1)身体上被称为“热来源。“据我们所知,类型的“热来源”有复杂的影响性质的解决方案相比的情况下“酷源”(10]。因此,一些作品关心灭绝房地产解决方案与“热来源进化方程。“2005年,李、吴10给一些灭绝的必要和充分条件解决“热来源”下面的问题: 在哪里。他们证明,如果解决问题(4)与小初始数据有限的时间,如果中消失了最大的解决问题的办法(4)是积极的。最近,田和μ11]研究以下拉普拉斯算子方程非线性“热来源”: 他们获得的,灭绝的临界指数的弱解的问题(5)。同时,他们显示和的灭绝和nonextinction解决问题(5)强烈依赖的第一特征值问题在,。更多的消光特性方程,结果“热来源,”我们可以参考12,13)和引用。
通过替换扩散项梯度的吸收在(4),在这篇文章中,我们将建立的灭绝的条件解决问题(1),其中包括“热来源”而不是“酷”的来源。
2。预赛
在本节中,我们将给出一些定义和引理的证明是有用的结果在下一节。对于我们的方便,我们首先定义一些设置如下: 众所周知,这个问题(1)没有经典解决方案。我们需要考虑其脆弱的解决方案,定义如下。
定义1。对于任何,一个函数被称为弱解的问题(1如果持有下列等式和:
备注2。类似地,定义一个上(分别地。,并讨论)(职责。的问题(1),我们只需要设置(职责。),(职责。)和第一个平等(7)所取代(职责。),每。
作为一个有用的工具在我们的主要结果的证明在下一节中,比较原则所需的以下问题: 在下列四个假设:(H1) ,,,,酸处理和对所有和;(H2) 和与对所有;(H3) 与;(H4)为任意常数,如果,在和,,那么这个函数和几乎在定义通过 属于和分别我们有下面的引理的比较原则问题(8)。
引理3(见[14])。假设假设(H1)——(H4)。让和非负解(8)与。任何进一步的假设,有一个常数这样对所有。然后,几乎无处不在。
3所示。主要结果
在本节中,通过应用能量法引入[11)和引理的比较结果3的问题(8),我们得到的主要结果的灭绝和nonextinction解决问题(1)。
3.1。灭绝的解决方案
在本节中,我们考虑的灭绝问题的解决方案(1),给的灭绝的条件解决问题(1)。
定理4。假设,让是一个问题的弱解(1)。如果足够小的初始数据,存在一个有限的时间,这样 对所有。
证明。首先,乘问题的第一个方程(1)
和集成,我们可以获得以下重要方程证明:
然后,我们证明这个定理由以下两种情况。
首先,我们考虑的情况下。让在(11),我们可以得到的持有人不平等不平等和庞加莱
在哪里是水列夫嵌入常数只依赖和。
自,,它遵循从年轻的不平等那
同时,由于假设和暗示持有人,我们可以获得的不平等
因此,从以前的不平等(11)- (14),我们可以获得以下微分不等式:
选择足够小,这样和初始数据足够小,这样
因此,我们可以获得
在哪里。
通过积分不等式(17),我们可以获得存在一个有限的时间这样
这意味着消失在有限时间。
接下来,我们考虑的第二个案例。让在(11庞加莱),我们可以得到的不平等
在哪里是水列夫嵌入常数只依赖,,。类似的计算,证明在第一种情况下,我们可以从年轻的不平等的那
选择足够小,这样和初始数据足够小,这样
然后,它遵循不平等(11)和(19)- (21),
在哪里−。
通过积分不等式(22),我们可以获得存在一个有限的时间这样
这意味着消失在有限时间。这就完成了定理的证明4。
定理5。如果解决问题的办法(1)在有限时间消失足够小。
证明。当,我们注意到左边的不平等(16)和(21)总是等于1。因此,通过一个类似的论点的证明定理4,我们可以选择足够小,这样的不平等(16)和(21),这意味着存在这样消失都相同。这就完成了定理的证明5。
3.2。Nonextinction解决方案的
在本节中,我们调查的条件解决方案的问题(1)不能灭绝。
定理6。如果,弱解(1任何非负)不能消失在有限时间初始日期与足够大。
证明。为了证明定理6,我们首先定义两个有用的函数,如下所示。第一个函数令人满意的与主要特征值相关的本征函数下面的问题: 为第二有用的功能,我们定义如下: 在哪里和。它遵循从[11)函数满足以下属性: 现在,让是一个函数。接下来,我们将显示上的问题(1)。事实上,定义的函数,和属性(26)的函数我们有, 为了证明这意味着上的问题(1),我们只显示 自和我们有, 通过选择,我们可以得到 在一起(29日)意味着(28)持有。因此,上的问题(1)。此外,由于在和,我们可以获得比较原则在,这意味着软弱的解决方案(1)不能在有限的时间消失。这就完成了定理的证明6。
注7。从定理4- - - - - -6我们观察到,灭绝的临界指数的解决问题的办法(1)。
确认
这项工作是中国支持NSF的一部分(11101069,11101069)和自然科学基金项目部分CQ CSTC (2010 bb9218)。