文摘
摘要推导和数学分析的一个自治和非线性普通differential-based框架。具体来说,数学框架由两个常微分方程系统的:物流与时滞方程和方程的承载能力被认为是与时间有关的。定性分析是指共存均衡的稳定性分析和推导霍普夫分岔的存在的充分条件。结果是生命系统的兴趣,包括生物和经济系统。
1。介绍
在过去的三十年里,生命系统的数学建模得到了太多的关注,人们提出了不同的数学方法,试图获得一个数学理论。生命系统,不同于物理系统,需要更多的关注和一种不同的数学治疗取决于系统接受调查。
提出了不同的数学和计算框架的困难是严格相关现象的系统建模。事实上,如果我们只是感兴趣的时间演化系统中元素的密度(没有空间动力学),常微分方程的框架可以使用;看到回顾文献[1]。值得强调的是,这个框架为每个元素需要一个微分方程的定义的系统;因此,如果系统的元素的数量非常大,这个框架的适用性可能是不可行的。后者发生时,连续介质力学方法可以执行;这种方法在于推导质量、动量和能量守恒方程通过现象学模型;看这本书2,3]。描述了通过合适的偏微分方程。一个中间方法提出的动力学理论。这种方法允许积分微分的方程的推导考虑相互作用的角色,可以保守,非保守的,和变化的;看到最近回顾文献[4]。
元素的时间演化系统的建模与前面提到的数学框架在共同的特征描述同时依赖于描述。这是一个近似的现实,因为发生的现象是严格相关系统的行为在以前的时间吗,在那里是一个时间差。因此,最近的时间延迟被插入到生物和经济系统的数学模型,特别是在常微分滤模型;其中,复习文献[5)和论文(6- - - - - -14]。
本文致力于数学框架的定义,提出了生命系统的建模,特别是生物和自然经济。本文提出的框架是基于常微分方程。具体地说,系统的数学框架包括两个非线性常微分方程:一个逻辑斯蒂方程滞后(见论文(15,16])和一个方程的承载能力被认为是与时间有关的。定性分析是指共存平衡解的稳定性分析和推导霍普夫分岔的存在的充分条件。
剩下的纸是组织如下。介绍后,部分2处理的定义系统建模的假设和推导的相关模型。部分3侧重于定性分析的框架和具体涉及共存均衡解决方案和相关的稳定性分析包括霍普夫分岔的存在的充分条件。霍普夫分岔的质量,稳定的分支周期轨迹,和相对时间调查部分4。最后,我们得出结论本文和目前应用和研究视角5。
2。底层的数学框架
本节涉及的推导数学框架,提出了生物和经济系统的建模。
具体来说,我们考虑两个种群的密度是用合作和,分别。此外,我们假设人口由物流术语定义和时间延迟吗这样的承载能力是与时间有关的,正值。让人口是合作,合作的人口,降低利率的人口。轴承上面所有的假设,因此数学模型读取如下
的数学框架(1)因此由自治非线性常微分方程组的时间延迟和特点是三个非负参数有特定的含义,用经验数据可以通过调优。
值得强调的是,数学框架(1总结了不同数学模型在文献中提出的。事实上,如果在论文中,我们获得的模型分析(17,18),技术创新是人类人口增长背后的驱动力;参见论文(19,20.),作者假设之间的正反馈技术和人口;为和,我们获得模型分析了文献[21]。
3所示。平衡分和稳定性分析
本部分介绍分析调查的平衡点的存在性和稳定性分析的数学模型(1)。下列命题州重要的平衡点的数量。
命题1。数学模型(1)承认独特的非平凡平衡点。
证明。这一命题的证明之前,通过观察,平衡的系统(1)对应于代数系统的解决方案。因为数学模型(1)是由自治微分方程,然后系统的平衡分(1)配合的瞬时的,即当。
简单的计算表明,线性化方程组的特征方程数学模型(1)模型读取如下: 为了方便符号,我们有什么。
稳定性分析的重要的平衡将通过检查首先进行瞬时的系统。因此,如果没有时间延迟,(2)读取如下: 和相关的特征值 寻找公式(4),我们有两个实特征值与相反的迹象。然后,平衡点是一个鞍点(系统不稳定)。
现在假设。的不稳定平衡点可能改变时所考虑的系统的特征方程零个或一对纯虚特征值。前的情况不会发生,因为它发生在(2)并立即看到,这导致了矛盾。现在,我们学习的时候(2)纯虚根,在那里是一个正实数。
事实上,如果,,是一个根(2),然后下面的身份必须是真实的: 实部和虚部之间的区别,我们获得以下两个方程: 解决方案(6)是(,尤其是其他解决方案已经被排除在外,因为它意味着荒谬), 的解决方案解读为 下面的引理。
引理2。让人口的人口增长率和合作的人口。(1)如果适用,那么(7)不承认积极的根源。然后,没有稳定的开关系统(1)。此外,由于不稳定的时候,它仍然不稳定。(2)如果适用,那么(7)有一个独特的积极的根,如果,承认两个积极的根源分别,如果。作为增加,稳定开关可能发生。
值得注意的是,它可以很容易看到纯粹的虚构的根源和很简单。此外,从(6),我们也获得一系列的关键值定义如下:
引理3。让人口的人口增长率和合作的人口。(1)如果,然后(2),有一双简单的纯虚根。(2)如果,然后(2),有两对简单的纯虚根。
3.1。霍普夫分岔的存在
在本节内,存在的一个充分条件霍普夫分岔。初步结果是包含在以下引理。
引理4。让表示的根(2附近)令人满意的,,在那里和,和中定义的(8)和(9),分别。(1)让,所以。一个人。因此,横截性条件不持有。(2)让。(一)如果读取,那么横截性条件 (b)如果读取,那么横截性条件
证明。区分(2)对和使用(2),我们得到 替换到(12),把它翻过来,把它的实部, 使用(7),然后(13)读 因此, 然后,从(7),我们有以下结果。(我)让;然后,所以。(2)让。如果,然后。如果,然后。这就完成了证明。
记住上面的分析,我们的根(2从左到右)穿过虚轴(因为)和从右到左(因为),如增加。
总结上述言论,结合前题,我们有以下结果的分布的根(2)。
定理5。系统(1),适用下列语句。(1)如果,平衡都是不稳定。(2)如果我们有两种情况:(一)平衡都是不稳定并经历了霍普夫分岔当;(b)平衡是不稳定的和稳定。此外,它经历了霍普夫分岔当。
注6。在前面的定理,数学模型的动态礼仪时失踪。事实上,在这种情况下,横截条件消失了。
4所示。霍普夫分岔的定性分析
后范式方法和中心流形理论(22),本节涉及的显式公式推导确定霍普夫分岔的属性(它的存在看到定理5)在关键价值或,在那里。
在下面,我们表示连续向量函数的空间 并通过连续向量函数的空间 设置和应用数学模型(1变量的变化 模型是等价的泛函微分方程系统: 在哪里(我) ,(2) 为,(3) 读起来像 在哪里 (iv) 读起来像 在哪里
引理7。让被定义的向量函数(20.)。然后,存在一个矩阵值有界变差函数,因为,这样
证明。证明了通过应用黎兹表示定理。实际上,我们可能需要 在哪里狄拉克δ函数。
定义8。让是矩阵值函数有界变差的引理7。为,一个定义了以下操作:
备注9。一个简单的分析表明,系统(19)等价于 在哪里和运营商(26)和(27),分别,因为。
定义10。让是矩阵值函数有界变差的引理7。为,一个定义了以下操作: 和一个定义了以下双线性形式: 在哪里。
备注11。很容易证明和伴随运营商。我们知道的特征值;然后也是一个特征值的。
让和的特征向量和对应于和。假设,的特征向量对应于。从,我们有,这样我们就可以计算。同样,我们假设,在那里和是复杂的值,得到了什么。通过这种方式,我们可以找到的值选择这。
我们将使用现在的理论Hassard et al。22计算坐标描述中心流形在。让的解决方案(28),和 中心流形上,一个 在哪里 和和是当地的中心流形坐标吗的方向和。的解决方案(28),因为,我们得到 在哪里 和是由(32)。我们重写这个方程,在那里 自,替换成,我们发现 比较之间的系数(36)和(37),我们得到 我们的话,,将取决于和。因此,为了确定,我们需要计算它们。由(28)和(36),我们有 在哪里 扩大上述系列,比较相应的系数,,,我们获得 从(39),,我们可以得到 比较系数(40),我们得到 结合(41)和(43),我们得到 因此, 在哪里是一个常数向量待定。从(31日),我们发现 从(31日),,我们看到, 用(46)和(50)(48)和观察, 我们有 然后我们得到。同样的,我们有 因此,我们可以计算出所有四个系数所以可以确定以下数量,所需霍普夫分岔的分析: 周期解及其稳定性分析的帮助下正常的形式参数,,,。特别是,让我们确定霍普夫分岔的质量(超临界或亚临界);确定分支周期解的稳定性;确定分支周期解的周期。
定理12。让模型的平衡点(1)。(1)如果霍普夫分岔,然后系统(1在平衡点),当超临界;如果霍普夫分岔,是亚临界。(2)如果分支周期解的局部渐近稳定和不稳定。(3)如果分支周期解的时间增加和减少。
5。应用和研究视角
本文提出的数学框架可用于应用程序。事实上,框架可以应用生物系统的建模,如癌症细胞和免疫系统细胞之间的竞争;见文献[23]。物流增长项模型最大的癌症细胞在增殖人口规模,可以持续。此外应用程序是指经济增长理论;参见[24- - - - - -26]。物流增长通常归因于资源随着人口规模增加每个就越来越少。人口的增长,不过,人们很自然地认为,技术,社会组织和文化的其他方面允许人类增加环境的承载能力。
本文提出的数学框架当然是值得未来研究对其定性分析和应用复杂系统建模的应用科学。具体来说,分析调查可以解决极限环的存在(27- - - - - -29日)如纸的内容(30.]。此外,这是一个研究角度分析模型的稳定性和霍普夫分岔(1当插入延时也在函数。
最后,数学框架(1)可以广义为了考虑策略执行系统的元素(特别是生物系统的上下文)通过使用恒温动力学方程的方法(31日,32)允许的可能性达到静止状态(33]。此外,这种方法允许我们执行渐近限制连接常微分方程与动力和连续介质力学方法(34]。
承认
第一作者承认FIRB的支持项目RBID08PP3J-Metodi Matematici e Relativi Strumenti / la Modellizzazione e la德拉Simulazione Formazione di肿瘤,Competizione con il Sistema Immunitario, e Conseguenti Suggerimenti Terapeutici。