文摘

我们学习一些牛顿型的动力学迭代方法时,应用多项式的度2和3。高阶导数的方法是免费的主要限制是经典的高阶迭代计划。迭代计划包括几个步骤的阻尼牛顿法具有相同的导数。我们引入一个阻尼因素以减少坏区域收敛。结论是阻尼方案成为真正能够替代经典的牛顿型方法自混沌和分岔的原始计划都减少了。因此,可以利用新方案获得原计划的好起点。

1。介绍

最重要之一,通常的数值分析中存在的问题是找到一个非线性方程的解决方案: 在哪里是一个函数,。近似的解这些方程,迭代方法可以使用。迭代的方法有很多不同的属性,但最常用的是牛顿迭代法:

这种方法和它的变体被许多作者研究了自牛顿在1669年提出的。众所周知,在某些假设相关的起点和函数该方法提供了一个序列收敛是抛物线的解决方案(1)。

经典的三阶计划,哈雷和切比雪夫等方法,评价二阶邻衍生品。这些评估非常耗费时间的系统方程。的确,我们观察到,对于一个非线性系统方程和未知数,第二个邻导条目。特别是,这些方法很难用于实践。出于这个原因,我们感兴趣的研究方法,提高订单但评价只有一阶邻衍生品。由两个(或更多)的方法步骤的牛顿法拥有相同的导数,其他主要利用这些方法继电器事实,如果我们考虑一个方程组只有一个在每个迭代中分解是必要的。因为这两个属性的方案被认为是一个真正的替代经典的牛顿法。

另一方面,我们可以找到一个严格的和有用的过程来找到最好的方案与冷冻衍生品(牛顿型方法的家庭1]。大多数情况下,最有效的候选人的家庭是两步迭代法。我们将研究这些家庭但特别注意两步计划。

在本文中,我们的主要目的是研究离散系统的动态定义的方法但引入阻尼因子。我们有兴趣搜索混乱或初始条件的敏感依赖离散动力系统。在[2],赫尔利和马丁表明,经典的牛顿迭代法展品混乱对于一大类功能(参见[3])。阻尼因子的引入不仅降低了收敛的顺序,也减少了混乱和分支,正如我们将看到的部分3和4。特别是,我们可以利用这些计划作为经典的牛顿计划的起点。我们得出结论本文通过比较阻尼方法与原来的连续的阻尼高阶方法来自使用更多的牛顿的步骤。

的动态迭代方法的研究吸引了许多团体的注意(4- - - - - -8]。

本文组织如下。节2我们介绍我们的新方案和相关的扩展定理。扩展定理允许适当的坐标变换,以减少迭代的一般动力学的研究地图,研究特定家庭的简单映射的迭代。多项式的动力学二度和三个,混沌动力学在某些情况下,介绍了部分3和4,分别。在这些章节中,我们观察到的包含阻尼因子降低了收敛坏区。节5我们给主要的研究得出的结论,我们总结的好处包括阻尼因子。最后,我们提出了使用阻尼方法为了找到好的起始点的原始方法。

2。阻尼牛顿型迭代法

我们的第一个目标是分析的动态修改下面的三阶迭代root-finding方法(9]:

这种迭代root-finding算法是由下面的迭代函数定义: 在哪里和。换句话说,。该方法的动力学进行了研究(10]。现在,我们引入一个阻尼因子我们分析其影响动力学迭代法(4)。通过引入阻尼因子root-finding算法具有以下形式:

因此下面的迭代函数描述了root-finding算法: 在哪里。

请注意,很容易证明函数的根是固定的。此外,我们有

特别是,如果是一个简单的根源吗,也就是说,和,然后。因此每一个简单的根是一个吸引点的和superattracting定点。如果是一个多样性的多个根的,那么这是一个吸引定点为每个值。有固定的点不同的根源。这些点被称为不相干的不动点。在[10司马义)等人表明,这个方法(没有阻尼因子)带来了混乱和分支,当它应用于一个单参数的三次多项式。混乱的行为相关的存在点这样和。

当我们应用迭代法一个多项式,我们可能有一些问题,因为我们获得理性的地图,说,在那里和多项式,我们可能会想,没有共同的因素。困难出现在这些点的评价分子非零,分母为零,这样的一个点对应于迭代法的波兰人。

为了研究的动态通过图形分析,我们认为这是一幅地图在。为此,我们是由。这张地图是一个同胚成。定义了地图通过,在那里是上面的迭代root-finding方法引入地图吗。我们可能会延长从地图为本身。我们使用相同的符号扩展。注意固定点扩展函数而在这些固定的点是排斥。

现在我们有以下有用的结果。

定理1(扩展定理)。让是一个解析函数,让,,是一个仿射映射。让。然后;也就是说,和仿射共轭的。

证明。我们有 另一方面,和,然后,通过一个简单的归纳过程,。因此,。
用这些数量我们获得
最后,通过比较的泰勒级数展开的和,我们获得
因此,。
这结束了证据。

任何非零常数定理仍然有效这样。

扩展定理允许适当的坐标变换,以减少迭代的动力学研究,研究特定家庭的简单映射的迭代。例如,每个二次多项式,,我们假设莫尼,变量的仿射变化减少到一个多项式:(我) ,(2) ,(3) ,

根据真实的根的数量(两个,一个(双),或不真实的根)。因此研究的动态,当它应用于一个二次多项式,降低研究的动态在哪里,仿射变化的变量。另一方面,迭代法的动态研究降低研究的动态区间映射。同样,任何一个最简单的三次多项式减少三次多项式:(我) ,(2) ,(3) ,(IV) 。

最后一个是一个适当的尺度改变了在共轭性类。

3所示。二次多项式

下面的分析部分2,我们必须研究三种情况。

例1 ()。在这种情况下形式(6)我们有 这个函数为是一个线性收缩。唯一不动点,这是一个全局吸引子,但不是super-attracting。因此,它的动力是微不足道的。

例2 ()。为从(6)和(7),我们有 现在的不动点是和。的点的根,我们有;因此吸引固定的点吗,superattracting。另一方面,我们有。因此,无关的不动点是排斥的。请注意,有一个垂直的渐近线在哪里。

让和间隔由排斥不动点和的。图1显示和图2显示了一个放大的区间函数的限制。

很明显,限制的时间间隔有一个不变的康托尔集吗零勒贝格测度nonescaping点;也就是说,是点的集合,其轨道保持的间隔迭代下。换句话说,这些点并不吸引superattracting固定的点之一(注意,当固定的点是superattracting)。

从上面的分析,我们任意点的轨道吸引的superattracting固定分之一吗。因此,任何点的轨道的一个不动点吸引吗。

因此我们可以定义“坏区”因为如果不吸引,那么它的吸引点。

引理2。“坏区”的阻尼两步Newton-like方法中定义(6)应用与两个不同的二次多项式根随阻尼参数。

证明。我们首先计算
我们有,
因此是一个时间间隔为中心和宽度。很容易看到减少的时候减少。考虑到功能和增加功能,它遵循了吗减少,所以,小我们有小。

因此我们看到分析和图形数据3,4,5,6的大小减少与阻尼因子因此我们可以混乱的区域减少的状态。

例3 ()。在这种情况下,方程没有真正的根,因此没有真正的不动点,其动力是混乱的。数据7和8说明这种行为。

4所示。三次多项式

在本节中,我们考虑三次多项式。正如我们所看到的部分2一个仿射坐标变换,每一个三次多项式减少一个最简单的或单参数的三次多项式家族的成员。因此,我们分析这些简单的三次多项式的动力学。

例4 ()。在这种情况下,只有一个真正的根在哪里和方法(6)具有以下形式:

自对所有,接下去没有临界点;因此,是一个全球性的同胚的动力学本身和它是微不足道的。

例5 ()。在这种情况下有3个实根,,和。是由(6) 请注意,有两个点渐近线吗和。我们有,当,然后,当,然后。如果我们现在计算的不动点存在9观测点的三个根源 和以下无关的固定的点:

在哪里和。评估所有这些点(7),我们获得第一个3人(的根源)是吸引每一个固定的点和superattracting。无关的固定的点是排斥的: 特别是,力学是微不足道的。

例6 ()。这个函数只有一个三根。我们有(6)具有以下形式: 这是一个线性收缩为每个值。唯一不动点吸引,但不是superattracting和动力学是微不足道的。

例7 ()。我们有从(6), 我们将在本节中分析的动态根据两个参数和。我们的主要目的是比较的结果修正参数不同的阻尼参数值并研究它如何变化动态。

我们首先研究情况。在这种情况下,我们的函数有两个关键点:。我们是。请注意,有一个积极的临界点二重根吗。因此,这个值的参数将在动力学的研究非常重要。

我们有三个不同的可能性。(我)如果的多项式有三个实根。(2)如果的多项式有一个积极的双真正的根和一个简单的一个是负的。(3)如果的多项式只有一个真正的根。

为迭代方法有两个垂直的渐近线。7点固定,3多项式的真正根源(吸引不动点),和无关的固定的点(排斥)。参见图9作为一个例子。我们可以观察到数据10,11如果阻尼因子减少,那么多余的不动点往往是更接近渐近线。

为迭代方法有两个垂直渐近线在哪里和我们可以看到在图12。请注意,和。有3个固定的点,一个多项式对应的真正解决方案吸引和排斥两个无关的不动点。我们再次获得,当阻尼因子减少混乱的区域也能减少。

现在我们要考虑最简单的情况下,对应,我们有 这张地图有一个吸引点相对应的根源吗。此外,它还有另一个两个无关的不动点真正的方程的解决方案: 当我们看到在图13不相干的不动点都是排斥。

现在如果我们关注阻尼因子,我们获得,当减少,无关的固定的点往往是接近渐近线。这种行为可以观察到的数据14和15。请注意,的临界点。

最后研究是相关的。请注意,所有的价值,提出了一种最大时增加减少。此外有一个值这取决于阻尼因子的值,这样,对于每个,只有一个不动点(函数)的根源和动力是微不足道的。在表1,它显示了不同的近似一些值的。图16说明了这个情况。

当,提出了另一个定点鞍节点(如司马义等人显示在[10)当参数减少,似乎分岔。如果我们现在看到的数字17,18,19,20.,很明显,下降的问题;即使是小的值(他们似乎消失了。

最后,我们总结了以下猜想:如果 与 ,然后 只有三个固定的点吗。

5。结束语

在这个工作我们已经分析了新的阻尼的动力学三阶Newton-like方法。我们已经声明以下这项研究得出的结论(我)盆地的连接组件的吸引力增加,当阻尼因子减少。(2)混乱的大小和分岔区减少,当阻尼因子减少。(3)nonconvergence区减少时,阻尼因子减少。

除此之外,我们也进行了类似的研究包括牛顿的步骤。结论仍然是有效的。数据21,22,23,24显示的例子行为有牛顿的步骤。因此,我们可以建议使用阻尼方法为了找到好的起始点的原始方法。我们想在即将发表的论文中分析这些混合方法。我们也有兴趣分析nonfixed阻尼因素的情况。

确认

作者要感谢裁判和AAA的编辑建议在本文的初稿。研究部分的第一个两位作者是支持菲德尔MTM 2010 - 17508和08662 /π/ 08年。第三作者的研究支持部分mtm2011 - 28636 - co2 - 01。