文摘
我们引入一个新的小波变换框架内的当地分数微积分。当地的分数小波变换的一个佐证。
1。介绍
小波变换在信号分析等领域的成功应用,数据压缩和声音处理(详情,1- - - - - -6)和引用文献在其中)。尽管有缩放和移动版本的母亲小波,女儿小波结构如下(见[3- - - - - -5): 在哪里是二元扩张,是二元位置,是归一化的因素。一维小波变换的表达对于一个给定的连续信号是由 和重建公式 在哪里
最近,分数小波变换作为一个泛化的经典小波变换,提出了在7]。一维分形连续信号的小波变换有以下形式: 在哪里代表一个散装光学内核。
的重建公式输入以下表达式给出的定义是:
我们注意到分数小波变换应用于图像加密(8),同时光谱分析(9在[],复合信号10,11]。其他分数小波变换的定义,请参阅[12)和参考引用。
记住的研究分形信号(本地部分连续信号),一个新的地方分数小波变换是在[开发13)根据当地的分数傅里叶变换(14)通过当地的分数微积分(15- - - - - -18]。在本文中,我们调查当地的分数傅里叶变换处理当地的分数小波变换通过实施当地的分数微积分。
本文的组织如下。部分2介绍当地的分数傅里叶变换和小波的概念。部分3探讨了当地部分连续小波变换的推导。部分4研究波空间和部分5现在一个说明性的例子。最后,部分6概述了我们目前调查的主要结论。
2。当地的分数傅里叶变换和小波
让当地的分段连续函数,表示如下(见[18): 当地的空间分段连续函数下,,是由(见[13]) 操作员是本地部分。
的空间规范上被定义为 为。这是无限的和。
当地的分数傅里叶变换在分形空间定义如下(见[13,14): 它的逆矩阵制定如下(见[13,14): 让,让 当 这个函数被称为当地分数小波(13]。
让。然后,我们有 这 在哪里和。
3所示。当地部分连续小波变换
让。然后,我们到达以下关系: 在哪里,,。
同样,我们得到
采取在的地方,我们获得 在特殊情况时,我们有以下关系: 这样 因此,存在以下关系: 一般来说,我们也推断出以下标识: 现在,我们建立如下关系: 因此,当地部分连续小波变换需要以下表格(见[13): 和当地部分连续小波变换的反演公式推导如下(见[14): 在哪里
4所示。小波空间
为了分数小波的经典小波不同,这里我们制定一个小波空间如下。事实上,一个小波空间被定义为 当分形维数等于1,(27),我们推断(见[3- - - - - -5]) 在哪里是连续的,。
以分形维数,我们得出一个公式 与,在那里是一个当地的分段连续函数。
5。一个说明性的例子
为了构建当地部分连续小波,我们假设是次当地分段可微函数。
我们定义本地分数小波通过以下表达式: 微分算子是当地部分运营商提出的杨(18](其他定义,参见[19)和引用文献在其中)。
然后,我们得到 让我们考虑以下nondifferentiable信号,即 为,我们获得 为,我们获得 鉴于(33)- (34),我们得到一个地方给出的分数小波 后(35),我们得到 鉴于(15),以和,我们有 为整数。
因此,我们得到以下方程: 我们得出这样的结论,
6。结束语和观察
小说当地分数小波变换利用傅里叶变换研究了基于当地的分数微积分。这种变换已经发现有利的处理在分形空间的功能。波空间被认为是和一个说明性的例子所示。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关。