文摘
新定点定理建立了度量空间,部分度量空间上推导出类似的结果。这个工作可以被认为是一个延续的纸萨梅特et al。(2013)。
1。介绍
1994年,马修斯(1]介绍了局部度量空间的概念作为研究的一部分denotational数据流的语义网络和显示,巴拿赫的收缩原理可以推广到偏度量上下文应用程序验证。后来,许多作者研究了局部度量空间定点定理(见,例如,(2- - - - - -9)和引用)。
我们先回顾一些基本定义和局部度量空间的性质(见[1,5更多细节)。
定义1。部分指标在一个非空的集合是一个函数这样对所有,我们有(P1),(P2),(P3),(P4)。
部分度量空间是一对这样是一个非空的设置和部分指标吗。
很明显,如果,然后从(P1)和(P2),;但是,如果,可能不是。一个基本的例子部分度量空间,在那里对所有。其他部分度量空间的例子很有意思,从计算的角度可以发现在1]。
每个部分指标在生成一个拓扑结构在家庭为基础的开放球,在那里 对所有和。
定义2。让是一个部分的度量空间和一个序列。然后收敛于一个点当且仅当。我们可以写成;被称为柯西序列如果存在是有限的;是说如果每个柯西序列完成在收敛,对,一个点,这样。
如果部分指标吗,那么这个函数给出的
是一个规。
引理3。让是一个部分的度量空间。然后(一) 是一个柯西序列当且仅当它是一个度量空间中的柯西序列;(b)部分度量空间完成当且仅当度量空间完成;此外,当且仅当
在[1),马修斯巴拿赫收缩原理扩展到部分度量空间的设置。
定理4(见[1])。让是一个完整的部分度量空间和一个给定的映射。假设存在一个常数这样 然后有独特的定点。此外,我们有。
最近,在10,11),作者证明了一类大型定点定理部分度量空间,包括马修斯的结果,是定点定理在度量空间的直接后果。更准确地说,在11),作者建立了下面的结果。
定理5(见[11])。让完备度量空间,,较低的半连续函数。假设存在这样 对所有。然后有独特的定点。此外,有。
现在,在定理4,我们获得 对所有。应用定理5马修斯,我们获得立即的结果。另一种方法Haghi等建议。10)让是一个度量定义为 不难证明如果是完整的,那么就完成了。相当于现在,马修斯的收缩 对所有。所以,马修斯的结果可以推断立即从巴拿赫收缩原则。观察到的定理5,如果我们考虑到映射定义为 然后是一个规和是一个完备度量空间。此外,收缩条件定理5相当于 对所有。所以,定理5也可以从巴拿赫收缩原理推导出。
定义的函数通过 然后,收缩条件定理5相当于 对所有。在本文中,我们建立新的定点定理涉及函数的度量空间,映射 不是一个指标。部分度量空间中一些定点定理推导出在度量空间从我们的主要结果。
2。主要结果
我们表示函数的集合满足下列条件:(我) 对所有,(2) ,(3) 是连续的。
为例,以下功能:(一) ,(b) ,(c) ,(d) ,(e) 。
我们表示函数的集合满足下列条件:(j) 不减少的,(当) 为每一个,在那里是th迭代的。
不难证明如果,然后对于每一个。这些函数是在文献中被称为比较函数。
定义6。让是一个度量空间,,,。我们说的对满足一个广义如果存在收缩这样 对于每一个。
我们的主要结果是给下面的定理。
定理7。让完备度量空间,,。假设持有下列条件:(1)
断断续续的低,(2)存在和这样两人满足一个广义收缩。
然后有独特的定点。此外,有。
证明。让。定义的序列通过对所有正整数。让是一个正整数,这样。使用条件与和,我们获得 没有限制的普遍性,我们可以假设对于每一个。假设 在这种情况下,我们有 请注意,。事实上,如果,从条件(我),我们有,这意味着,这是一个矛盾的假设对于每一个。自对于每一个,我们得到 这是一个矛盾。然后,我们推断出 对于每一个。使用的财产(i)和的单调性质,我们获得 对于每一个。修复,让是一个正整数(由(jj))等 让;利用三角不等式和(20.),我们得到 因此我们证明在度量空间是一个柯西序列。自完成,存在一些吗这样作为。我们将证明是一个不动点的。首先,观察,从条件(jj)和(20.),我们有 这意味着(因为断断续续的低) 使用条件与和,我们得到 对于每一个。假设。使用的连续性,(23)和(24),我们有 然后,存在一个正整数这样 对于每一个。因此,我们有 让在上面的不平等,我们得到 这是一个矛盾。因此,我们证明了这一点。现在,假设是另一个不动点的。我们可以观察到 实际上,应用(14),,我们得到 这意味着(30.)。现在,应用(14),和,我们获得 使用(24)和(30.),我们得到 这意味着;也就是说,。因此,我们证明了这一点有独特的定点与。
示例8。让被定义的映射 我们赋予与标准度量。让对所有,对所有,对所有。很明显,是连续的,,。此外,我们有 对所有。由定理7,有独特的定点(),。注意,在这个例子中,巴拿赫收缩原理不能使用自映射不是连续的。
3所示。特定情况下
在本节中,新的不动点定理给出的结果推断从我们的主要结果7。
推论9。让完备度量空间,,。假设持有下列条件:(1) 断断续续的低,(2)存在这样 对所有。
然后有独特的定点。此外,我们有。
证明。它遵循从定理7与。
推论10。让完备度量空间,,。假设持有下列条件:(1) 断断续续的低,(2)存在这样 对所有。
然后有独特的定点。此外,我们有。
证明。它遵循从定理7与。
推论11。让完备度量空间,,。假设持有下列条件:(1) 断断续续的低,(2)存在这样 对所有。
然后有独特的定点。此外,我们有。
证明。它遵循从定理7与。
推论12。让完备度量空间,,。假设持有下列条件:(1) 断断续续的低,(2)存在这样 对所有。
然后有独特的定点。此外,我们有。
证明。它遵循从定理7与。
推论13。让完备度量空间,,。假设持有下列条件:(1) 断断续续的低,(2)存在这样 对所有。
然后有独特的定点。此外,我们有。
证明。它遵循从定理7与。
推论14。让完备度量空间,,。假设持有下列条件:(1) 断断续续的低,(2)存在这样 对所有。
然后有独特的定点。此外,我们有。
证明。它遵循从定理7与。
许多其他的可以从定理推导出的结果7通过考虑不同的选择。
4所示。应用程序局部度量空间
我们将显示以下定点定理在局部度量空间可以从定理推导出7。
推论15。让是一个完整的部分度量空间,让。假设存在这样 对所有。然后有独特的定点。此外,有。
证明。让对所有和对所有。我们有 在哪里 现在,不平等(42)等价于 对于每一个。应用定理7,我们获得有独特的定点与;也就是说,。
以下结果立即从推论15。
推论16。让是一个完整的部分度量空间,让。假设存在这样 对所有。然后有独特的定点。此外,有。
推论17。让是一个完整的部分度量空间,让。假设存在这样 对所有。然后有独特的定点。此外,有。
注意,马修斯的结果(见定理4)是必然的结果16通过,在那里。
承认
作者想扩展他们的真诚感谢院长以来在沙特国王大学科学研究的资助这项研究的研究小组项目没有。以序列- vpp - 237。