文摘

贝塞尔运营商的逆问题进行了研究。一组值的特征函数在一些内部点和部分两个光谱数据。唯一性定理。调查中使用的方法,是采用部分已知的潜在的问题。

1。介绍

逆光谱分析涉及的问题恢复一个线性算子的光谱参数。目前,逆问题正在研究对某些特殊类型的常微分算子。最简单的是Sturm-Liouville算子。的情况下,它被认为是在整个行或半行,Sturm-Liouville操作符的函数被称为一个潜在的。在这个方向上,Borg [1给重要的结果。他表明,在一般情况下,一个频谱不确定Sturm-Liouville运营商,所以Ambarzumyan的结果(2是一般规则的例外。在同一篇论文中,Borg显示,两个光谱的Sturm-Liouville运营商确定它独一无二。后来,莱文森(3),莱维坦(4],Hochstadt [5)表明,当边界条件和一个可能降低频谱,然后潜力是唯一确定的。利用光谱数据,即谱函数,光谱,和规范化常数,提出了不同的方法获取Sturm-Liouville中的势函数的问题。这些问题被其他作者随后调查(4- - - - - -6]。另一方面,逆问题定期和奇异Sturm-Liouville运营商都进行了广泛的研究7- - - - - -15]。

室内光谱数据的反问题的微分算子在于重建这个操作符从已知的特征值和特征函数在一些内部点的信息。类似问题Sturm-Liouville算子和不连续Sturm-Liouville问题制定和研究[16,17]。

目前的工作的主要目的是研究重建奇异Sturm-Liouville操作符的反问题的基础上,光谱数据的一种:一个光谱特征函数在内部点和一些信息。

考虑以下单数Sturm-Liouville算子令人满意的(1)- (3): 边界条件, 在哪里是一个实值函数和,光谱参数,,。操作员自伴的吗和离散谱。

让我们介绍第二个奇异Sturm-Liouville算子令人满意的 受到相同的边界条件(2),(3),是一个实值函数和。操作员自伴的吗和离散谱。

2。主要结果

在给出一些贝塞尔方程相关的结果之前,我们应该给它的物理性质。粒子的总能量是由,在那里最初还是最后的势头,对应的波数,普朗克常数,粒子的质量,能量。减少角动量分波的径向薛定谔方程然后读取(18] 当,上述方程减少古典贝塞尔方程的形式 这个方程的解,被称为贝塞尔函数。

特征值问题的(1)- (3)的根(3)。这个光谱特性满足以下渐近表达式(19,20.]: 在系列。接下来,我们提出本文的主要结果。当,我们得到以下的唯一性定理1。

定理1。如果对于每一个一个人 然后

在的情况下的独特性可以证明,如果我们需要的知识第二光谱的一部分。

让是一个自然数序列属性

引理2。让是一个令人满意的自然数序列(10),如此选择,。如果对任何 然后

让和是一个这样的自然数序列 ,让的特征值(1),(2)和(15),的特征值(4),(2)和(15) 使用Mochizuki和Trooshin从引理的方法2和定理1,我们将证明以下定理3成立。

定理3。让和是一个令人满意的自然数序列(13)和(14),如此选择,。如果对任何一个人 然后

3所示。主要结果的证明

在本节中,我们提出本文主要结果的证明。

定理的证明1。在证明定理1,我们将提到一些结果,以后需要。我们得到初始值的问题 众所周知从[18),第一类贝塞尔函数的是 和渐近公式大论点
它可以显示(19),存在一个内核连续的三角形这样通过使用转换操作符的每个解决方案(18),(19)和(20.),(21)可以表示形式8,21), 分别的内核 方程的解是什么 边界条件 转换后的 我们得到以下问题:
这个问题可以通过使用黎曼方法解决(21]。
乘(18)和(20.),减去和整合来,我们获得 的函数和满足相同的初始条件(19)和(21),也就是说, 让 如果的属性和被认为是,函数都是一个完整的功能。
因此定理的条件1意味着 因此
此外,使用(24)和(33), 在哪里是恒定的。
介绍了函数 利用渐近的形式和,我们获得 的零的特征值因此它只有简单的0因为分离边界条件。从(38),是一个完整的函数的。整个函数的自组0包含在一组0我们看到,函数 整个函数的参数吗。从(36),(38)和(39),我们得到 因此,对所有从刘维尔定理, 或
它被证明在19)存在绝对连续函数这样我们有 在哪里 我们现在将显示a.e.上。从(33),(43)我们有 这可以写成 让在实轴,Riemann-Lebesgue引理,应该有一个 因此完整性的功能,接下去 但这个方程是一个齐次沃尔泰拉积分方程,只有零解。因此,我们得到 或 几乎无处不在。因此定理1是证明。

定理4。证明在几乎无处不在,我们应该重复上述参数的补充问题 边界条件

因此

接下来,我们证明引理2成立。

引理的证明2。在定理的证明1我们可以证明 在哪里和。从假设 的初始条件它遵循, 接下来,我们将显示对整个飞机。渐近(23)暗示整个函数是一个函数的指数型。
函数的定义指标通过 自,从(23), 让我们表示的0的数量在磁盘。根据(22]组0每整函数的指数型,不等于零,满足不等式 在哪里0的数量吗在磁盘。由(58), 假设和已知的渐近表达式(7)的特征值我们获得
的情况下, 不平等(59)和(62年)暗示对整个飞机。
类似于定理的证明1,我们有 这就完成了引理的证明2。

现在我们证明定理3是有效的。

定理的证明3。从 在哪里满足(14),。类似于引理的证明2,我们得到 因此,它需要被证明一个。e在。的形式和满足相同的边界条件。这意味着 在对于任何在哪里是常数。
让,。从(54)和(66年我们获得
我们要表明不平等(59)失败,因此,整个指数型函数消失在整个飞机。的和有相同的渐近(7)。数的数量和位于圆盘的半径,我们有 的的年代, 的的年代。
这意味着 重复的最后部分引理的证明2,考虑到条件,我们可以证明以相同的形式在整个飞机这意味着 因此
因此定理的证明3就完成了。

承认

作者要感谢裁判改善原始论文的宝贵意见。