文摘
第一次•冯•米塞斯塑性方程的守恒定律三个维度以及平面应力方程。在平面的情况下保护法律是用来构造特征的柯西问题。系统的平面应变,守恒定律是用来解决自由边界问题对于任何凸光滑轮廓含有常数正常和切向应力为零。
1。介绍
守恒定律正在成为最重要的工具之一,研究和解决微分方程。这样的意义是获得了这篇文章后Noether (1]。本文结果表明,所谓Noether有密切关系的对称性和守恒定律。即守恒定律对应于每一个这样的对称。
之后,这是表明这种关系只存在方程由变分原理。对于其他方程应该建造所谓的通用线性化算子。然后有必要考虑它的内核(正式)伴随算子2,3]。特别是,它允许持续构建塑性方程的守恒定律,而且使用它们来解决飞机的主要边值问题理论完美的可塑性(4,5]。
让我们给一些基本守恒定律的理论的定义,由于[2]。让我们考虑一个系统 的微分方程为未知函数及其衍生物,到订单关于独立变量()。
一个守恒的电流是一个维向量函数与组件(通量)根据,,,满足以下关系的任何解决方案: 在哪里是一个标量微分算子。上面的关系(2)守恒定律的系统。让我们注意所有守恒的电流被认为是对等价类微不足道的电流(对任何形式的)。以后重复指数的总和。
有如下(见[4)和引用书目)下面的定理。
定理1。让系统微分方程(1)来自一个变分原理和承认以下点Noether对称(;): 然后th组件保存当前具有以下形式: 在哪里对应的拉格朗日密度,。
让我们回忆起(2)功能 被称为拉格朗日(或一个行动或者一个变分泛函),和功能被称为密度的。
2。三维塑性方程的守恒定律
让我们考虑(6完美的系统在三维各向同性可塑性静止的情况下,描述塑性流动状态的不可压缩的塑料中,由三个平衡方程: •冯•米塞斯屈服准则的定义中达到塑性状态时 不可压缩性方程 和组件之间的关系的偏应力和组件对称的应变率张量: 在哪里是一个笛卡尔坐标系统,是静水压力,速度矢量的分量,屈服点,是一个积极的函数定义的屈服准则,是应力张量的组件,克罗内克符号,,。消除和从(6)- (9我们四个函数的非线性方程组,,,只有: 在哪里。
系统(10)承认李代数点转换由以下发电机[张成7)(): 发电机,,,得到了来自,循环排列的指数。群点转换是由以下monoparametric子组: 在哪里,,,,组参数。
转换(12翻译对,,;(13结垢),;(14)三个旋转飞机,,还有三个刚性位移(15)。
系统(10从拉格朗日()可以推导出): 拉格朗日的形式的密度在哪里 和它所代表的速度的机械能耗散元素体积。
很容易验证(10相对应的欧拉方程这看起来如下: 在哪里。
让我们注意·冯·米塞斯屈服准则(7)从变分原理:获得实际应力在塑料表面的速度力量最大化工作(8为不可压缩介质)。对于这样一个媒介数量被称为共享的强度应变率(6]。
对于系统(10)一个可以构造守恒定律的帮助下Noether的对称性。众所周知,Noether的对称性是李代数的子代数的点对称承认。它是足够的对称性(11)来确定那些不改变密度(17)。如果给定的点对称来验证内特尔,让我们用拉格朗日密度不变性的已知条件(9] 在这里是第一个延长的形式(3),的系数,的系数,的系数;是全导数操作员在:
的直接验证(19对称性)(11)表明,,,,点Noether对称的(17)。使用定理1并考虑到 一个可以获得的通量守恒的电流,相应的发电机() 和守恒定律表示的广义动量守恒设在和反映了媒介的同质性。
为发电机,保存当前的组件如下: 和代表角动量的守恒定律。
为我们有以下通量: 守恒定律只是第一个平衡方程(6)从动量守恒。以此类推,发电机的守恒定律和对应于第二和第三个平衡方程。
发电机生产 以此类推,可以构造一个守恒的电流,,。
很容易看到,线性组合是一个点Noether对称的(17)。然后,相应的守恒的当前的组件(4)():
让我们注意到发电机不是一个点Noether对称的(17),因为关系(19)并没有消失: 在哪里。在这种情况下,内特尔对称叫做对称分歧类型的和它产生9表单的守恒定律,在那里和是由(4)。因此,对于我们获得和代表的质量守恒定律(8)。
全套的n - s方程的守恒定律被发现在10]。由于相对塑性流动系统的类比和n - s方程很难期望以外的守恒定律在这里指定。
3所示。平面应力方程的守恒定律
平面应力状态大约是在一层薄薄的叶片变形力的作用下躺在正中面。笛卡儿平面方程的压力可以编写如下(6]: 的角与平均压力的值吗:和的第一个主方向之间的角度是应力张量和设在。
构造守恒定律让我们使用的方法2]。首先有必要构造的矩阵微分算子通用的线性化 (或邻的导数(11])。然后考虑到正式伴随算子一个需要解决的方程 限制的解决方案(28)。在这里被称为生成函数守恒定律。让我们回想一下,操作符矩阵的形式吗 在哪里,作为一个multiindex,,。如果,然后。
在一些操作(29日)以下形式: 衍生品的地方,例如,和,应由相应的表情变化(28)。很明显,(31日)有无穷多的解决方案。让我们考虑其中之一,即形式之一,。
让我们注意,可以确定其他解决方案(29日),但就作者所知的守恒定律根据导数没有应用程序来解决任何实际问题。
关系(31日)应该适用于任何解决方案的系统(28),因此衍生品的系数,等于零是完全相同的。它让两个线性方程来确定保存当前的组件: 对应于母函数与,。很容易验证,替换在(31日),考虑到上述系统及其微分的后果。在这种情况下,微分运算符从(2只是两个函数:
最后,下面的定理是有效的。
定理2。平面应力状态的系统承认无穷级数的守恒定律。
系统(28)有两个不同的家庭的实际特性曲线(如果双曲区域),由方程(6]: 关系以及特色 在哪里 在哪里是角特性曲线的交点。让我们来介绍两个新的未知函数和(特征坐标或黎曼不变量)在这样一种方式:,。
然后系统(28)的形式
最后,组件的守恒目前我们有以下线性方程:
让功能 沿着光滑的曲线(见图1)。曲线不是一个特点和它与每个特征只有一次相交。让是一个交点的特点。从点和。从点。然后需要定义一个柯西问题的解决方案(37),(39在曲线三角形(12]。
让我们确定点的坐标。积分闭合路径由于格林定理等于零 然后,通过整合部分获得 不失一般性,我们 然后我们有 用类推的方法 如果我们把 最后,从(40)我们有 保存当前的组件在哪里,从线性系统(定义38)和边界条件(42),(45)。
第二坐标我们有 采取 我们获得 如果我们把 最后,从(40)一个可以确定的第二个坐标点 保存当前的组件在哪里,的解决方案(38)和边界条件(48),(50)。
守恒的电流的解决上述问题给出了柯西问题初始系统的解决方案,因为点人们可以重新构造函数的值和从边界条件(39),最后,功能和。
这样可以确定特性曲线的家庭系统的平面应力。这些曲线不符合所谓的滑移线(线切应力达到最大值)在平面应变的情况下系统考虑。但应力张量的主要方向平分特性曲线之间的角度。这就是为什么可以重建从已知特性曲线滑移线场。
4所示。平面应变方程的守恒定律
让我们考虑系统完美的平面与Tresca-Saint-Venant-Mises塑性屈服条件(6]: 在哪里是静水压力,的第一个主方向之间的角度是应力张量和设在,可塑性是常数。系统(52)描述了纯塑性变形介质的应变状态。在这样一个状态的粒子的位移均匀和各向同性体是平行的飞机,是独立的三坐标。
拟线性系统(52)是双曲线的类型和特征是由以下方程: 以及相应的特征下列关系是有效的:
全套的守恒定律(52)的解决方案(29日)(详细描述13]。在[5),守恒的电流仅依赖,主要应用于解决边界问题,类似于(38)当,。因此,问题的解决方案(38),(42),(45)的一种形式 在函数看起来像下面的: 因此,问题的解决方案(38),(48),(50)是 在哪里是修改后的第一类贝塞尔函数的零阶以下属性:
让我们考虑一个自由边界问题。让恒定正常和空切组件应力沿着光滑的轮廓一些凸腔(见图1),位于无限塑料变形介质: 有必要确定自由边界沿着这条 函数之间的关系,(52)和正常的组件,如下(6]: 在哪里轮廓之间的角度是正常的和设在。
用(59)(61年),我们有() 让我们画两个特征 在哪里,的值是在点,分别。
应用上述方法我们定义的坐标我们有 另一方面,鉴于(60我们获得 将右手边的64年),(65年)我们有
作为一个特殊的例子,让我们考虑轮廓一个椭圆的形式(图1)。平等(66年)是有效的,如果。改变点的坐标,,一个可以找到曲线将边界应力自由。在图2一些点自由边界的轮廓给出了。
5。结论
对所有点对称的三维理想塑性系统·冯·米塞斯屈服准则计算相应的守恒定律。他们中的一些人(质量守恒和脉冲)在该系统的基础;然而,有新的守恒定律。
最近刚塑性本构模型,分析了线性随动强化(14]。聚焦平面简单的剪切本构函数被分类根据连续对称组。这将是有趣的考虑得到系统的守恒定律。
两个线性系统组件如何保护电流的平面应力状态的系统可以用来确定其特性曲线显示。
与Tresca-Saint-Venant-Mises完美的平面应变塑性屈服条件,一个自由边界问题的任意凸腔位于无限塑料变形介质解决使用相应的守恒定律。
确认
支持的工作是俄罗斯联邦教育部和科学(项目1.3720.2011)s i Senashov和PRO-SNI a 2013 - udg Yakhno。