文摘
一些作者介绍了各种条件可为了证明公共不动点的结果。然而,最近很明显,上述的一些条件,虽然正式截然不同,实际上正好在给定的情况下有一个独特的点映射的巧合。因此,事实上,新的公共不动点的结果不能以这种方式获得。我们做一个回顾这样的连接和结果。
1。介绍
最简单的公共不动点的结果映射如果可以获得和通勤(Jungck [1])。显然,这个条件太浓,所以很自然的去找弱的假设。因此,一些作者介绍了其他各种条件(我们称之为compatible-type条件)可以使用为了证明公共不动点的结果。这些条件有(2- - - - - -19]。这些(以及其他)条件用于其他论文引用的引用。回顾各种compatible-type条件之间的关系直到2001年才被引入(20.]。
然而,最近很明显,上述的一些条件,虽然正式截然不同,实际上正好在给定的情况下有一个独特的点映射的巧合。因此,事实上,新的公共不动点的结果不能以这种方式获得。我们做一个回顾这样的连接和结果。
2。定义和各种类型的双之间的关系
大部分的概念和结果,可以在各种类型的制定和证明spaces-metric,对称的,圆锥度规,概率度量指标,等等。为了简单起见,我们将保持度量空间的框架内。
让是一个度量空间,让。我们将表示,巧合的集合点(CP)和,也就是说, 通过点集的巧合(POC)和,也就是说, 并通过序列的集合在令人满意的,也就是说,
下面是定义的一些群众compatible-type条件,介绍了用于近几十年来建立公共不动点的结果。
定义1。据说两人是(1)弱通勤(2如果,所有,;(2)说,以满足房地产(E.A) [7如果(即。,if there exists a sequence在这样);(3)兼容的(3如果,所有,意味着;(4)不相容(4对一些人来说,如果,或不存在;(5)次相容(15对一些人来说,如果,;(6)有条件地兼容(6如果意味着对一些,;(7)弱相容(5如果,所有,意味着(即。,if, for all,意味着);(8)偶尔弱相容(8)(参见[21- - - - - -23),如果对一些,和(即。,if, for some,);(9)有条件地通勤(9如果意味着存在这样,,;(10)隐约兼容(16)如果是有条件和有条件地通勤(即兼容。(6)和(9));(11)相反地连续(13如果,所有,意味着和;(12)后来的连续(15对一些人来说,如果,和,;(13)有条件地相互连续的(19如果对一些人来说,意味着,,,;(14)一个运营商对(10对一些人来说,如果,;(15)一个运营商对(11对一些人来说,如果,;(16)一个通用的运营商的订单(12对一些人来说,如果,;(17)一个运营商对(14对一些人来说,如果,;(18) 偏见(17如果,所有,,在那里或;(19)弱偏见(17如果,所有,意味着;(20)偶尔弱偏见(11,18对一些人来说,如果,;
注意,条件(7)、(8)和(9)纯粹是集合理论,不依赖的指标结构。韵律和所有其他条件可以改变如果度量空间的改变(或其他结构的空间应用)。
在表1,我们国家的这些属性非常持有(或不能)如果一个人(或两者)的集合和是空的或非空的。此外,一些这些条件之间的影响显然在这些情况下。请注意,(因此,)。
给出了反例的反向影响(8第二节中的示例),(14示例3.1],[21例子),24示例2.12]。
以下是一些其他的影响(主要是明确定义)之间,引入概念。当它并不明显,相反的含义并不持有,参考给出一个反例。 。相反的含义,请参见[3例子,2.1和2.2)。 。相反的含义,请参见[25,例1]。 和。的反向影响[26示例2.3]。 。相反的含义,请参见[16示例1.2]。 (相反的暗示采取任意映射满足),。(2)和(7)是相互独立的(见[27,例子2.1 - -2.2])。 。相反的含义看,例如,28示例2.3)(注意,映射的定义的一部分在这个例子中是缺失;例如,它应该是为)。(6)并不意味着(7)(见[16示例1.3])。(3)和(8)是独立的(在一个方向上采取任何搭配,反向[9示例1.1])。(4)和(8)是相互独立的(见[9,例子1.1 - -1.3])。 。相反的含义,请参见[15示例1.2]。 和。取任意映射满足的反向影响(因此,)。(9)并不意味着(7)(见[9])。 。相反的含义,请参见[16示例1.4]。(4)和(10)是相互独立的。一双不相容的一个例子就是朦胧的不兼容(16示例1.5)(参见[9示例1.1])。地图的任何一对通勤微弱的兼容,而不是不相容。 。相反的含义,请参见[16示例1.7]或[29日示例2.1]。(11)和(12)是独立的条件,(在一个方向上,任意一对令人满意,在另一看到[15示例1.4])。 和。的反向影响[19例子6]。 和。事实上,它遵循(8)的存在这样;也就是说,。但后来。(14)和(15)(在一起)不意味着要么(7),或(8)(见[10例子),或(17)(见[14示例3.3])。 (相反的含义,(16)并不意味着(8)[12示例3.2])。(17)并不意味着(14)和(17)并不意味着(15)(见[14示例3.4])。 。相反的含义,请参见[17]。 。相反的含义,请参见[17]。 和。的反向影响[30.示例2.3]和[18示例3.2]。(19)并不意味着(8)(见[30.示例2.4])和(20)并不意味着(19)(见[18示例3.2])。最后,如果是一个单例 (31日,命题2.2), (32,命题2.22), (24,命题2.11]。
3所示。减少公共不动点结果疲弱的情况下兼容性
以下简单的结果可以用来显示一些不动点定理获得最近其实不是先前已知的结果的概括。
命题2。让是一个度量空间,让。让两人有一个点重合;也就是说, 然后条件(7)、(8)、(9)和(17)是等价的,等效的条件有一个独特的公共不动点。
证明。我们首先要注意到意味着和(取,在那里,尽管考虑以下。
持有,因为。
是由(31日,命题2.2]。
持有,因为。
被证明在14),而之前因为。
如果有独特的POC,证明在22(8)意味着,条件有一个独特的公共不动点。反过来是显而易见的。
一个简单的映射的例子和在,当有两个元素,显示的情况吗是一个单例不能从前面的命题,这个命题也不知道什么时候,(19,6]示例所示。
当考虑两双映射,以下是命题的直接后果2。
推论3。让和是两对self-maps度量空间,满足 然后以下条件是等价的。(我) 和满足条件(7)。(2) 和满足条件(8)。(3) 和满足条件(17)。(iv) ,,,有一个独特的公共不动点。
应用命题2或推论3,很容易显示,很多论文中所引用的结果实际上是没有之前所知的概括。
作为一个示例,请考虑定理2.1和2.2的16]。在这些断言是一个单例。此外,映射和有一个独特的公共不动点。由命题2,接下去是弱相容(条件(4))。因此,使用正式弱假设(10)不会产生一个更一般的断言。
同样,在定理和推论2.1 - -2.6(2.1和2.233),应用推论3对,我们得到和弱是兼容的。
同样,它可以得出以下结果实际上是没有之前所知的概括:[6定理1.4和1.5);(8,定理2.1);(19定理1 - 3节2);(11定理2.8 - -2.12);(14定理4.1,4.4,4.6,4.8,4.10,4.12和5.1);(18定理4.1,4.6,5.6,6.2;推论4.3,4.4);(22,引理1;定理1 - 5;推论1 - 5);(30.定理2.5;推论2.7);(34定理1 - 4和推论1 - 3);(35定理3.1、3.4和3.6;推论3.9,3.10,3.11);(36定理2.2和2.6);(37,定理2.1 - -2.3和3.1 - -3.4;推论2.1);(38,定理1.1);(39定理2.1和2.3;推论2.2、2.4和2.5);(40定理3.1 - -3.3);(41定理2.1和2.2;推论2.1 - -2.3);(42定理3.1 - -3.3和4.1 - -4.3);(43定理2.1和2.2);(44定理3.2;推论3.1和3.2);(45,定理2.3);(46定理11;推论13];(47定理2.2和2.3);(48定理2.1 - -2.5);(49定理2.1,2.4和2.10);(50定理4.1,4.2,-5.5和5.1)。
再次,作为一个示例,请考虑52定理2.1],(略)读取如下。
让和是两个pseudoreciprocal连续self-mappings完备度量空间这样并满足一定的收缩状态。如果两人是有条件地连续吸收呢和有一个独特的公共不动点。
它可以是新配方如下。
在前面的条件下,对是弱(即兼容。,satisfies condition (7)).
确实的证据52定理2.1)显示和有一个独特的公共不动点。收缩条件容易意味着他们也有独特的POC(例如,是一个单例)。然后,命题2意味着弱相容(有时弱兼容,PD型,有条件地通勤)。因此,再次疲软的兼容性是一个自然和最弱的可能的假设对于这种结果。
类似的结论可以为以下结果:(28推论2.1];(51定理1 - 3);(52,定理2.2和2.3)。
一些非常有趣的结果也获得了多值映射。我们只是注意(53- - - - - -55]。
有趣的是,在混合双映射(一个单值和一个多值)的结论类似本文不能。也就是说,它是所示31日示例2.5),在这种情况下的命题2不再持有。因此,例如,论文的结果(56- - - - - -59从之前所知的)不能直接获得。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
承认
第一和第二作者感谢教育部、塞尔维亚的科学和技术的发展。谢谢院长以来的第三作者承认科学研究(域),阿卜杜拉国王大学吉达,金融支持。