文摘
我们进行的周期解(2 + 1)维KdV-Burgers方程不存在。获得的界定heteroclinic轨道。利用李群方法,我们得到两个——(1 + 1)维PDE,通过对称的减少;直接积分法,拓广传播方法扩张方法,我们获得准确的非旅游波解,对汉堡(2 + 1)维KdV方程,并找出一些新的奇怪的共振现象非旅游浪潮的进化。
1。介绍
我们考虑到(2 + 1)维耗散Korteweg-de弗里斯汉堡((2 + 1)维KdV汉堡)方程 在哪里,,,是真实的参数。方程(1)是广泛的一类非线性波模型方程模型在一个弹性管,液体用小泡沫,和动荡1- - - - - -3]。关注已经穿上他们的精确解的研究一些方法(4),例如,一个复杂的线孤子通过扩展的双曲正切与符号计算方法(5),精确行波解包括孤波解,周期波和激波的解决方案通过扩展映射方法,和同伦摄动方法6,7]。
众所周知,非线性演化方程精确解的调查研究中发挥着重要作用的非线性物理现象。许多有效的方法已经提出了(7- - - - - -22),如功能变量分离方法(8,9),同伦摄动法(12],拓广方法[7,13],李群方法[14,15),变分迭代法(16),类测试方法(17- - - - - -19],Exp-function方法[20.,21齐次平衡方法],[22]。实际上,没有统一的方法,可以用来处理所有类型的非线性。
在本文中,我们将讨论周期行波解的存在和寻求界定heteroclinic轨道,并进一步利用李群方法借助符号计算系统的枫木构建经常旅行波解(1)。
2。周期行波解的存在性(1)
介绍行波变换这种形式 允许我们的转换(1)的颂歌 在哪里积分(3)对两次,采取积分常数收益率 让,因此非线性常微分方程(4)相当于自治动力系统如下: 动态系统(5)有两个平衡分: 平衡的雅可比矩阵点的右边(5)分别获得如下: 他们潜在的方程表达,分别, 相关的潜在根源分别如下: 显然,如果,然后因此,两个正实根吗是一个非稳定节点。如果,然后共轭复根和实部为正,所以呢是一个不稳定焦点。和一个积极的和-真正的根,是这样的吗是一个鞍点。从(5),我们知道相平面上的相轨迹满足 积分(11),我们可以获得 在哪里是系统的总能量或Hamiliton函数(4)。显然 因此,系统中表达(12)不是一个保守的人,然后周期行波解(1)不存在。
我们总结上述分析以下定理。
定理1。行波变换下,周期解的(2 + 1)维耗散KdV-Burgers方程不存在。
但是,界定heteroclinic轨道和非旅游周期解存在,这将在稍后讨论。
3所示。界定Heteroclinic KdV-Burgers的轨道方程
首先,我们假设的解决方案(4)的形式 用(14)(4)的收益率 然后我们得到 解决系统(16) 用(17)(14)获得 显然,,。因此,(18通过不稳定节点)是一个界定heteroclinic轨道点和鞍点(23]。
一般的,Hamiliton函数,我们获得 在哪里是一个任意常数。积分(19)对我们有 在哪里是一个任意常数。我们可以看到,(4)的通解(20.)和所有部分病例包括以上结果可以发现的通解(20.)。的例子,,,在(20.),我们找到一个解决方案(4)如下: 这是两个轨道。
4所示。李对称(1)
本节致力于李对称(1)[14,15]。让 李对称的(1)。从李群理论,满足以下方程 我们把函数在表单中 在哪里()函数来确定。用(3)(2)的收益率 在哪里()是任意的函数,是一个任意常数。用(25)(24),我们获得的李对称(1)如下:
5。对称性减少和解决方案(1)
基于简化方程的可积性对称(26),我们将考虑以下三种情况。
案例1。采取和在(26)的收益率
微分方程的解是
用(28)(1)收益率的函数满足以下线性PDE:
通过整合双方,我们发现以下结果:
在哪里,是新的任意函数的。用(30.)(28),我们可以得到的解决方案(1)如下:
(1)(),,在(31日),当地的结构获得(图1)。在哪里是一个雅可比椭圆余弦函数。
(2),,,,在(31日),当地的结构获得(图2)。
例2。取,和在(26),然后
求解微分方程,我们可以得到
用(33)(1一旦对)和集成收益率
再次,进一步使用因变量的转换(34),
用(35)(34一旦对)和集成收益率
在哪里是一个积分常数,。我们假设的解决方案(36)可以表达形式
在哪里()是常数确定后,满足以下辅助方程
用(37)和(38)(36),将所有的权力的系数零收益率一组代数方程,,,如下。
解决函数方程组与枫的援助,我们获得
当,,,在那里。
众所周知,解决方案(38)如下24]:
用(41),(40),(37)和(35)(33),我们获得的解决方案(1)如下:
(见图3和4)。
备注2。如果我们直接假设的解决方案(34)可以表达形式 在哪里,,的连续函数以后待定。满足辅助方程(38)。用(43)和(38)(34),将所有的权力的系数为零收益率的一组函数方程,,,,如下: 解决函数方程组,我们获得 这一结果表明我们的想法是相当于案例的想法2以上。
例3。取和在(26),然后 求解微分方程,我们获得 用(47)(1)产量 使用转换关于和集成的方程我们有 在哪里是一个任意常数,。假设颂歌的解决方案(49)可以通过一个多项式表示如下: 在哪里满足二阶矿脉的形式(25] 平衡与在(49)给。这 在哪里(),是常数以后待定。用(52)和(51)(49)。这些系数的设置收益率为零,一组代数方程如下: 解决上述代数方程的收益率 当和。因此,我们得到以下的解决方案(1): 在哪里。
6。结论
基于这一事实(2 + 1)维的周期解KdV-Burgers方程不存在,我们得到界定Heteroclinic轨道。采用李群方法,我们减少了(2 + 1)维汉堡KdV方程(1 + 1)维耗散方程包括(1 + 1)维线性偏微分方程常数系数(29日),(48)和(1 + 1)维非线性变系数偏微分方程的34)。通过求解方程(29日),(34)和(48),我们获得一些新的精确解,发现共振的奇怪的现象非旅游波孤子的演化方程(2 + 1)维KdV汉堡。我们的结果表明,李群方法的统一与他人有效搜索同时非线性演化方程的精确解。其他的解决方案与对称结构(26)要进一步研究。
确认
作者要感谢郑胜耀卢教授的有益的讨论。这项工作是由四川省教育行政管理的重要研究项目。10 za021和中国自然科学基金批准号10971169。