文摘
的媒介地下水变化在时间和空间。Hantush方程描述了通过一个漏水的含水层地下水的运动。包含显式的变形破含水层的数学公式,我们修改方程代替部分time-fractional变量对时间的导数的阶导数。修改后的方程是通过Crank-Nicolson数值求解方案。在这种情况下,稳定性和收敛性给出细节。
1。介绍
一个含水层地下一层含水透水岩石或松散的材料(碎石、沙子或淤泥)的地下水可以提取使用水井。研究水流在蓄水层和含水层的特征称为水文地质。相关术语包括弱透水层,这是一个床低渗透的含水层,看到1)和不透水层(或不透水层),这是一种固体,不透水区域潜在的或上覆含水层。如果不透水面积覆盖含水层,压力可能导致它成为承压含水层。有两个成员在蓄水层的光谱类型:限制和无侧限(semiconfined之间)。非承压含水层有时也叫做水位或潜水含水层,因为它们的上边界水位或潜水面。通常,但并非总是,在一个给定的位置最浅的含水层非承压,这意味着它没有封闭层(弱含水层或含水土层)之间的表面。当泵漏水的含水层,含水层的测压管水位的降低。这降低随着抽运呈放射状向外传播,创造不同的水头和含水层之间的如何。因此,如何将开始垂直向下的地下水加入含水层中的水。因此含水层部分向下渗透从如何进行充电。随着泵的继续,排放总量的比例来自这种渗透增加。 After a certain period of pumping, equilibrium will be established between the discharge rate of the pump and the recharge rate by vertical flow through the aquitards. This steady state will be maintained as long as the water table in the aquitards is kept constant. Figure1显示了测压管水位开始后的泵漏水的蓄水层。
Hantush是第一个推出一个偏微分方程来描述这样的现象。然而,由于一些地下蓄水层的变形,Hantush方程不能占数学公式的变化的影响。因此这项工作的目的是致力于讨论基础的描述通过变形漏水的含水层地下水流动,一方面。另一方面,我们提出修正方程的近似解的推导过程通过Crank-Nicolson方案。我们将开始与变分阶导数的定义和修改的问题。
2。定义和修改问题
读者不熟悉的变分阶导数的概念,我们开始本节。我们现在这个导数的基本定义。
2.1。变分微分算子
让表示一个连续但必要的可微的;让是一个连续函数在(0,1)。那么它的变分阶微分的定义是
上面的导数叫做卡普托变分阶微分算子;另外的导数恒为零。
2.2。问题公式化
地下水模型描述地下水流动和运输过程用数学方程基于某些简化假设。这些假设通常涉及的方向流,含水层的几何和非均质性和各向异性的沉积物或基岩含水层。这种地质形成的地下水流动的时间和空间的变化。
地下水流动方程的简单概括,顺便也符合真实的物理现象,是假设水位不稳定但瞬态。1935年,泰斯(2)是第一个发展不稳定流动的公式,介绍了时间因素和存储。他指出,当一个穿透一个广泛的承压含水层抽水以恒定速率,放电的影响随着时间的推移向外延伸。头的,下降的速度,乘以存储和总结影响的面积,等于排放。不稳定(或书)方程,这是源自于类比地下水的流动和热传导,也许是最广泛使用的偏微分方程在地下水调查
上面的方程是分类下抛物方程。然而,很少有地质结构是完全不透水的液体。泄漏的水可能发生,一个承压含水层应该在底部,或者另一个含水层。这样一个含水层的行为,通常被称为漏或semiconfined含水层,因此需要不一样的承压含水层。尽管semiaquifer的本质不同于真正的含水层,它仍然是可以使用的基本原则在流到达这样的含水层的控制方程。特别是如此在那些情况下两者之间的封闭层含水层不是太厚,流动主要是在垂直方向。
根据Hantush雅各(3,4),减少由于泵漏水的含水层可以由以下方程描述: 在哪里是水的减少或改变水平;的具体存储含水层,透射率: 与和作为主要的液压导率和封闭层,分别和主要和封闭层的厚度,分别和泵的放电率。偏微分方程描述的运动通过地质地层水在泵受到以下初始和边界条件:
然而,当我们考虑多孔介质中的扩散过程,如果介质结构或外磁场变化随着时间的推移,在这种情况下,普通integer-order constant-order部分扩散方程模型不能用于描述此类现象(5,6]。这是可变形的含水层中的地下水流动,流动的媒介与时间和空间发生变化(7,8]。特性方程Hantush不能处理这种情况。这项工作的目的之一是因此致力于讨论基础的描述水流通过变形漏水的含水层,一方面。为了包括明确的可变性的媒介发生流动,标准版的偏导数与variable-order时间被替换(VO)部分获得
3所示。数值解
环境现象,如地下水径流描述变分阶导数,是高度复杂的现象,不容易分析的分析模型。因此,讨论在本节将致力于修改Hantush方程数值解的推导(6)。
解决困难的方程,数值方案激情运动已有许多学者(9- - - - - -20.]。然而,存在大量文献[这个方案的14- - - - - -20.]。这些数值技术非常准确而方程近似解的困难。这些数值方法产生近似解控制方程通过时间和空间的离散化7]。名誉扫地的问题域内的变量内部属性,系统的边界,并强调是近似的。确定性、分布参数、数值模型可以放松的刚性理想化条件分析模型或统括参数模型,因此他们可以更现实的模拟和灵活字段条件(7]。最近Atangana和博塔[7)延长了地下水流模型time-fractional可变阶导数的概念;他们解决了通过Crank-Nicolson数值方案得到的方程。有限差分方案constant-order时间——或者space-fractional扩散方程广泛研究[9- - - - - -14]。最近,太阳et al。21]研究了平流扩散方程的解与time-fractional变量导数。隐式差分逼近的研究方案constant-order time-fractional扩散方程提出了在15]。最近,加权平均介绍了有限差分法(16]。提出了分步扩散方程的矩阵方法(17],Hanert提出了一个灵活的时空数值的离散化方案部分扩散方程(见[18])。最近,数值方案VO space-fractional advection-dispersion方程被认为是(19]。显式方案的调查VO非线性space-fractional扩散方程做了(见[20.])。
3.1。Crank-Nicolson计划(22]
在执行数值方法之前,我们假设(3)有一个独特的和足够光滑的解决方案。建立数值方案上面的方程,我们,步骤和是时候大小和和是网格点。我们引入Crank-Nicolson方案如下。首先,一线和二阶空间导数的离散化表示
签证官的Crank-Nicolson方案time-fractional扩散模型可以表示如下:
现在更换(7),(8),(9)和(10)(6),我们获得以下:
为简单起见,我们把
方程(11)成为
4所示。Crank-Nicolson方案的稳定性分析
在本节中,我们将分析的稳定性条件Crank-Nicolson方案Hantush方程变形含水层。
让,在那里点的近似解吗,此外,和函数选择是
然后,该函数可以用傅里叶级数表示如下:
它建立了15),
观察到所有,,此外,根据问题点,渗流速度,弥散系数的障碍因素,放射性衰变常数都是正的常数。然后以下属性的系数,可以建立。(1) ,是积极的,(2) 对所有,(3) 对所有。
按照惯例在地下水调查选择上的一个点中心线抽水钻孔作为参考的观察,因此,减少和其衍生品将消失在原点,要求(7]。在这样的情况下,含水层的水压头的分布是一个减少钻孔的距离的函数,表达式(7]。在这种情况下,错误犯在广义平流扩散方程的近似解与Crank-Nicolson方案可以提供如下:
如果我们假设在(17)可以放在delta-exponential形式如下21]: 在哪里是一个真正的空间波数,现在取代上述方程(18)(17我们获得
方程(19)可以被写成以下形式:
我们的下一个问题就是证明解决方案(19)满足以下条件:
为了达到这个目标,我们利用递归技术的自然数。
为,记住,是积极的,然后我们获得
假设为属性验证,那么
利用三角不等式,我们获得
使用递归的假设,我们有 完成证明开始(21)和结束(25)。
5。收敛性分析Crank-Nicolson方案
如果我们假设是我们的问题的精确解的意义,让和用这个(17),我们得到
在这里,
从上面,我们有 在哪里, ,和是常数。考虑Caputo-type分数导数,上面详细的错误分析方案可以参考的工作21和进一步工作21,23]。
引理1。下面的不平等适用于在哪里,是一个常数。此外,
这可以通过递归技术来实现对自然的数字。
当,我们有以下:
现在假设。然后, 完成引理的证明1。
定理2。Crank-Nicolson方案是收敛的,存在一个正的常数这样
一个有趣的和详细的研究可以发现的可解性Crank-Nicolson计划工作(7,8,22]。因此,定理证明的细节2(33)将不会被提出了。
6。数值模拟
在本节中,我们提出的解决方案的数值模拟通过Crank-Nicolson方案修改Hantush方程获得。在这里让我们考虑以下方程: 图2显示的数值模拟含水层厚度1000英尺,透射率英尺/天,的主要含水层的渗透系数英尺/天,破的渗透系数英尺/天。一个存储漏水的因素是0.00081 /天,最后的流量英尺/天。红色显示的距离的模拟的脚。黑色的显示了距离的模拟脚,最后蓝色的模拟的脚。图3显示了水流的数值模拟变量漏水的含水层。
7所示。结论
本文的主要目的是考虑变形漏水的含水层的数学公式。然而,也有一些漏水的含水层,时间和空间的变化。功能,Hantush方程不能用来描述这种情况。最近,变分阶导数发现有效地描述这种情况下非常有用。然后,我们修改了Hantush方程代替偏导数由变分阶导数。使用Crank-Nicolson结果方程数值求解方案。稳定和收敛的细节。我们比较了数值模拟从野外观测与观察到的撤军。比较表明,修改后的方程更准确地预测真正的实地观察。