文摘

我们检查之间的关系降低抽风机,quasidifferentiability (Demyanov和Rubinov意义上),和切换系统的最优控制。首先,我们得到必要的切换系统的最优控制问题的最优性条件的降低抽风机。然后,通过使用低抽风机和quasidifferentiability之间的关系,我们获得必要的最优性条件的情况下最小化功能满足quasidifferentiability条件。

1。介绍

切换系统是一种特殊的混合动力系统,该系统由多个子系统和一个切换法律指定活跃在每次即时子系统。有一些文章是专用的交换系统(1- - - - - -8]。切换系统的例子可以发现在化学过程中,汽车系统和电路系统,等等。

关于必要的切换系统的最优性条件的平滑功能成本,它可以在1,4,6]。quasidifferential之间的连接的更多信息,抽风机和阿达玛微分(8- - - - - -10]。关于必要的离散切换系统的最优性条件是(5),和交换系统邻subdifferentiable成本功能(3]。本文解决了角色抽风机和quasi-differentiability切换控制问题。本文也扩展的结果纸(5](附加条件是未知的切换点,和最小化功能非光滑)的第一次最优性条件。本文的其余部分组织如下。部分2包含一些预赛,定义和定理。部分3包含问题配方和必要的最优性条件交换条件的最优控制问题抽风机。然后,部分的主要定理3扩展函数是quasidifferentiable最小化的情况下。

2。一些模型的分析的预赛

让我们开始用方向导数的基本结构(或其泛化)中使用的续集。让,是一个开集的函数叫阿达玛上(下)导数的函数在点的方向如果存在限制 在哪里意味着和。

注意限制在(1)总是存在,但没有必要的有限。这正齐次函数的方向导数。而后上层函数的次微分(低)在一个点可以定义如下: 一组 分别被称为上层(低)f函数的次微分在点。

观察到在[9,10),如果是一个quasidifferentiable函数方向导数在一个点被表示为 在哪里是凸紧集。从过去的关系,我们可以很容易地减少 这意味着函数描述的上下抽风机可以下列方式: 很明显,邻上层次微分与阿达玛上导数可以表达以下方式;参见[9引理3.2):

定理1。让更低的抽风机积极齐次函数。然后,,在那里邻次微分的吗在积极,齐次函数的f superdifferential 0

证明。采取任何。然后通过定义一个排气器我们可以写低 现在考虑任何 让我们考虑。然后,存在在哪里。然后,通过分离定理,存在这样 它是进行(3),对于每一个而且由于任意的。这意味着。定理的证明是完整的。

引理2。邻上,而后低积极齐次函数的次微分为零相一致。

证明。让是一个积极的功能。不难观察到每一个和每一个: 因此,而后低次微分的在的形式 正值表示的邻上积极齐次函数的次微分(见[11,命题1.9])。

3所示。问题公式化和必要的最优性条件

让调查对象由微分方程描述 与初始条件 和相位约束的时间间隔 和交换条件交换点(切换的条件,确定分阶段轨迹必须由一些相互连接关系): 本文的目标是最小化以下功能: 条件(14)- (16)。也就是说,它必须找到控制切换点和终点(这里不固定)与相应的状态令人满意的(14)- (16),这样的功能在(18)是最小化。我们将得到必要条件的非光滑版本这些问题(通过使用邻superdifferential和抽风机,quasidifferentiable Demyanov和Rubinov意义上)。

在这里,和是连续的,至少部分连续可微的向量值函数对它们的变量,是连续和连续变量的偏导数,有邻上层subdifferentiable (superdifferentiable)点和积极齐次函数是控制。的集是假定为非空的和开放。在这里(16)是交换条件。如果我们表示如下:,,,那么它方便地说,本文的目的是找到三重解决问题(14)- (18)。这三重将最优控制问题(14)- (18)。首先我们假设Hadamar上可微点吗在零的方向。然后,上断断续续的,它有一个详尽的家庭降低凹近似的吗。

定理3(必要的最优性条件的低抽风机)。让控制问题的最优解(14)- (18)。然后,对于每一个元素相交的子集较低的抽风机的功能,也就是说,,,存在向量函数,后的最优性必要条件是适用的:(我)状态方程: (2)有肋骨的方程: (3)在切换点,, (iv)最小化条件: (v)在终点, 在这里 克罗内克符号,是一个Hamilton-Pontryagin函数,低抽风机的功能,,是向量,是定义的条件(2)和(3)定理的证明过程中,。

证明。首先,我们将努力减少最优控制问题(14)- (18)与非光滑成本函数光滑最小化功能最优控制问题。通过这种方式,我们将使用一些有用的定理在12,13]。让我们注意,光滑的变分的描述邻法线定理(12定理1.30)及其与次微分(12定理1.88)提供重要的变分的描述邻次梯度的非光滑函数的光滑的支持。为了证明这个定理,采取抽风机的相交的子集的元素,,在那里,。然后利用定理1,我们可以写下来。然后,应用变分描述(12次梯度,定理1.88)。通过这种方式,我们发现功能为令人满意的关系 在一些社区的等,每个是连续可微的与,。很容易检查是一个本地解决以下类型的优化问题(14)- (18与成本),但连续可微的。这意味着我们推导出最优控制问题(14)- (18)非光滑成本功能成本平滑功能数据: 考虑到 我们使用乘数伴随约束,,和,来: 通过引入拉格朗日乘数法。在下面,我们会发现它方便使用函数称为哈密顿函数,定义为为。使用这个符号,我们可以写的拉格朗日函数 假设最优控制。确定变异,我们引入了变异,,,。从变分法,我们可以获得第一个变化作为 如果我们遵循的步骤3,5 - 7页),第一次变化的功能需要以下形式: 后者是已知的,因为求和 它很容易检查 如果状态方程(14)感到满意,所以选择系数和等于零。因此,我们有 被积函数是一阶近似的变化引起的 因此, 如果是在一个足够小的小区吗那么小,在去年的积分方程高阶术语占主导地位的表达。因此,对于是一个最小化控制是很有必要的 对于所有容许。我们断言,为了过去的不平等对所有容许感到满意在指定的社区,它是必要的对于所有容许和所有。显示这个,考虑控制 在哪里是一个任意小,但非零时间间隔和容许控制变化。在此之后,如果我们考虑在[证明极大值原理的描述4),我们可以来过去的不平等。
根据微积分基本定理的变异,在极值点的第一个变化功能必须为零,也就是说,。的系数设置为零,独立的增量,,和,考虑到这一点 产生必要的最优性条件(i) - (v)定理3。
这就完成了这个定理的证明。

定理4(必要交换最优控制系统的最优性条件Quasidiffereniability)。让最小化功能是积极的,quasidifferentiable点,让控制问题的最优解(14)- (18)。然后,存在向量函数,,存在凸紧凑,有界集中,对于任何元素、必要的最优性条件(i) - (v)定理3感到满意。

证明。让最小化功能是积极的同质和quasidifferentiable点。然后,完全存在有界低抽风机为(9定理4]。让我们做替换;采取任何元素,然后同样,如果我们遵循的描述和结果证明定理3在当前的纸,我们可以证明定理4。如果我们使用而后上次微分和Dini上导数之间的关系(9引理3.6),替代,然后我们可以编写以下推论(这里,阿达玛上的导数是最小化的功能吗的方向)。

推论5。让最小化功能是积极的,让Dini上可微的一个点和控制问题的最优解(14)- (18)。然后对任何元素,存在向量函数,必要的最优性条件的(我)——(v)的定理3持有。

证明。让我们采取任何元素。然后利用引理(9引理3.8)我们可以写。接下来,如果我们使用的引理9引理3.2),那么我们可以把。至少,如果我们遵循定理1(上f次微分和抽风机之间的关系)和定理3(必要的最优性条件的抽风机)在当前的纸,我们可以证明推论的结果5。