文摘

我们证明一些相对的最佳距离点的结果 在巴拿赫和超凸度量空间连续映射。我们的结果推广和扩展相对最近的一些结果 和一般的空间连续映射。

1。介绍

让 , 非空的巴拿赫空间的子集( )。在[1),艾尔缀德等人认为最好的邻近点映射的问题 与 和 或 和 分别;也就是说,他们寻求子集的情况而定 , ,空间 和映射 保证点的存在 , 这样 或 分别。在解决这个问题,他们认为一个新类的映射。

定义1(见[1])。让 , 非空的一个度量空间的子集( )。然后一个映射 据说是相对扩张如果 假设相对扩张映射的映射是弱于假设扩张,甚至不意味着连续性[1]。

介绍巴拿赫空间几何条件近端正常结构,他们获得了以下结果。

定理2(见[1])。让( )是一个非空的巴拿赫空间弱紧凸条 。让 这样是一个相对扩张映射 和 ,假设 已近端正常结构。然后存在 这样

推广的目标相对扩张映射的映射,艾尔缀德et al。2]介绍了一种相对的概念 在巴拿赫空间连续映射,我们国家度量空间。

定义3(见[2])。让 , 非空的一个度量空间的子集( )。一个映射 据说是相对 连续如果为每个 ,存在 这样 每当 每一个相对相对扩张映射的映射 连续。例如显示反过来是不正确的看到2示例2.1]。

埃尔德雷德et al。2)能够扩展的一些结果(1包括类相对 连续映射。

定理4(见[2])。让 , 是严格凸的非空的紧凑的凸子集巴拿赫空间 ,让 是一个相对 连续映射,这样 和 。然后存在

在本文中,我们表明,定理4适用于任何巴拿赫空间没有严格凸性的假设如下。

定理5。让 巴拿赫空间,让 , 非空的紧凑的凸子集 。如果 相对 连续这样 和 ,然后存在点 和 这样 。

一些有趣的最佳距离点定理的各种映射已完成(3- - - - - -8]。周期性映射可以找到其他相关的结果(9,10]。

本文的目的是为了证明一些最佳结果相对邻近点 在巴拿赫和超凸度量空间连续映射。我们的结果推广和扩展相对最近的一些结果 和一般的空间连续映射。

2。预赛

让 和 非空的一个度量空间的子集( )。定义

定义6。一个度量空间( )是超凸如果有任何家庭 点的 和任何家庭 非负实数的满意 对所有 ,然后 ,在那里

定义7。的容许的子集 集的形式吗 ,即球十字路口的家庭 。的一个子集 的 , 表示关闭 船体的 ;也就是说, ,在那里 。

如果 是一个容许集呢 也是一个容许集(11]。超凸度量空间的最新进展,我们参考读者12]。

定义8。让 是一个度量空间 一个多值映射与非空的值。然后 据说是几乎下半连续在一个点 如果为每个 有一个开放的社区 的 和一个点 这样, ,

在建立相对最好的邻近点的存在 在巴拿赫和超凸空间连续映射,我们应用下列连续选择和不动点定理。

定理(见[913])。让 是一个仿紧空间 赋范线性空间。让 是一个多值映射与非空的封闭凸值。然后 下半连续映射几乎是一个当且仅当每个 , 有一个连续 近似的选择;也就是说,一个函数 这样,每 , 。

定理(见[1014])。让 是一个仿紧拓扑空间, 一个超凸度量空间, 几乎下半连续映射的容许值。然后 有一个连续的选择;也就是说,有一个连续映射 这样 为每一个 。

定理(见[1115,16])。让 是一个紧凑的超凸度量空间 一个连续映射。然后 有一个固定的点。

3所示。最邻近点在巴拿赫空间中

下面的定理扩展最邻近点的结果埃尔德雷德et al。2定理3.1),严格凸巴拿赫空间任何巴拿赫空间。

定理的证明5。自 , 紧凑的凸子集, , 非空的紧凑凸子集。由(2,命题3.1) 和 。
通过 连续性的 ,对于任何 , 这样 和任何正整数 有一个 和邻居 在 定义为 这样 意味着
对于每一个正整数 ,定义一个多值映射 通过 为 。自 , 非空的。如闭凸集的交集,每个 也是封闭的凸。
由(11), 为每一个 ,这意味着映射 几乎是半连续下降。近似的选择结果的Deutsch et al。13)(见定理9),为任何 , 有一个连续 近似的选择;也就是说,有一个连续的 这样 。选择 的定义 选择 满足
自映射 是连续的, 是一个紧凑的巴拿赫空间凸子集,Schauder不动点定理意味着 有一个固定的点 ;也就是说,有一个点 这样 。
由(13), 和的密实度 和 ,我们可以假设 和 。因此, ,通过 连续性的 , 。由此可见, 这意味着 。

下列命题是由细微的变化在证明(2,命题3.1]。

命题12。让 , 非空的赋范线性空间的子集 ,让 是一个相对 连续映射,这样 和 。然后 和 。

第13号提案(见[17])。让 是一个严格凸巴拿赫空间, 一个非空的紧凑的凸子集 , 一个非空的封闭的凸子集 。让 是一个序列 和 。如果

在[1]给出最接近结果相对一致凸空间扩张映射。下面的结果就是结果相对的一个版本 在严格凸空间连续映射。

定理14。让 是一个严格凸巴拿赫空间,让 , 紧凑的凸子集 。如果 相对 连续这样 和 ,然后存在点 和 这样 , 和 。

证明。自 , 紧凑的凸集, 和 非空的紧凑的凸集,由命题12, 和 。
通过 连续性的 ,对于任何正整数 有一个 这样 意味着 ,因为 和 。为 定义 ,让 。然后 意味着 因此,通过 连续性的 ,
对于每一个正整数 ,定义一个地图 通过 为 。闭凸集的交集, 也是封闭的凸。由(18), 为 ,这意味着 非空的也 是一个几乎下半连续映射。
自 赋范线性空间,通过定理呢9对于任何 , 有一个连续 近似的选择;也就是说,有一个连续的 这样 ,因为 。选择 的定义 选择 满足 为 。
考虑到度量投影算符 。自 和 ,地图 发送 成 。自 是连续的, 由Schauder紧凑和凸,不动点定理是一个固定的点吗 。让 ,由密实度承担 , 收敛到 , ,分别。的连续性 , 。
根据定义的地图 , ,自 我们有 因此,通过命题13,
通过 连续性的 ,对于任何 有一个 这样 自 ,选择 足够大, 。然后 这意味着 自 是任意的, 因此,通过命题13,
的关系(22)和(27), 收敛于两 和 。因此, 。自 , 和严格凸性 , 。
自 ,我们有 连续性的 那 。因此, ,自 ,这意味着 。

4所示。最接近点超凸空间

下面是一个相对的最佳距离点的结果 超凸度量空间中连续映射。最好的接近点/对结果超凸空间的设置一些作者在18- - - - - -21]。

定理15。让 , 被容许的子集超凸度量空间 ,让 是一个紧凑的子集 ,让 是一个相对 连续映射,这样 , 。然后有一个 这样 。

证明。柯克等人的结果。18),集 和 非空的和超凸。为 ,选择 这样 。然后,通过 连续性的 ,对于任何 有一个 这样,对于 , , 由此可见, 。这意味着 为 。
定义一个开放的社区 在 通过 。
然后 意味着 因此,通过 连续性的 ,
定义一个多值 通过 为 。自 为 , 是一个非空的子集的 ,自 容许, 也容许。
我们表明, 几乎是半连续通过建立低吗 为 。由(30.)和hyperconvexity ,因为 , 自 ,我们有 任何时候 在十字路口(33)是在 自 。因此, 由(32),(33),这一事实 ,集 , , 成对非空的十字路口。由于所有这些集球路口,hyperconvexity空间 意味着
进一步,通过(34),十字路口(35)包含在 。它遵循从(35), 为 。这意味着映射 几乎是半连续下降。
马金(选择定理的14)(见定理10下半连续映射),几乎与非空的超凸空间容许值连续选择;也就是说,有一个连续的 这样 为 。由定理11,连续self-mapping紧凑的超凸空间有一个固定的点。因此,有一个 这样 。的定义 ,

承认

作者感谢裁判提供有用的意见和建议,提高了纸。