文摘
贝塞尔曲线法应用于求解线性和非线性BVPs四阶积分微分的方程。同时,方法是为解决BVPs开发出现的问题在微积分的变异。这些BVPs源于欧拉方程的极值问题的必要条件是微积分的变异。一些数值例子证明这项技术的有效性和适用性。
1。介绍
最近,关注致力于寻找可靠的和更有效的解决方案方法方程建模工程在各个领域的物理现象(见[1,2])。的方法之一,已经受到人们的关注是Adomian分解方法(ADM)(见[3,4])。ADM是用来解决各种科学模型。在[5),Wazwaz的主要目的是获得准确的解决两个四阶积分微分的方程。Hashim [4)确定的准确性和效率ADM在解决积分微分的方程。在目前的工作,我们建议使用类似的技术(6- - - - - -8)求解线性和非线性边值问题(BVPs)四阶积分微分的方程。
现在,我们考虑以下的两点BVPs类四阶积分微分的方程 在哪里是一个真正的非线性连续函数,,,,,是真正的常数,然后呢,,有,可以用泰勒多项式近似。解的存在性和唯一性的条件(1)给出了9]。
本文的其余部分组织如下。节2,我们回顾贝泽尔曲线的方法。提供了一些说明性的例子3证实了所提出方法的有效性。部分4包含了一些结论和对未来的符号。
2。贝泽尔曲线方法
考虑的问题(1)。把间隔为一组网格点这样 在哪里和是一个正整数。让为。然后,对于问题(1)可以分解为以下问题: 在哪里被认为是在。让在哪里是特征函数的为。是微不足道的。
我们的策略是利用贝塞尔曲线近似的解决方案通过在哪里下面给出。个人贝塞尔曲线定义的子区间是在连接在一起形成了贝塞尔样条曲线。为,定义贝塞尔曲线多项式的程度近似的作用在时间间隔如下: 在哪里 伯恩斯坦多项式的学位在时间间隔和控制点(见[7])。用(4)(3),一个可以定义为作为 让在哪里是特征函数的为。除了边界条件在每个节点,我们需要对每个连续的连续性条件保证平滑。由于一阶的微分方程,连续性的(或)及其一阶导数 在哪里是th导数关于在。因此,矢量控制的点()必须满足(见[7]) 根据的定义,我们得到。因此 Ghomanjani et al。7证明了该方法的收敛。
现在,剩余函数可以定义如下: 在哪里是欧几里得范数。我们的目标是解决以下问题: 数学规划问题(11)可以解决很多子程序算法。在这里,枫可以解决这个优化问题。
备注1。考虑以下功能(见[10):
找到的极端值的边界点,容许曲线被称为
求极值的必要条件,它应该满足欧拉方程吗
与边界条件给出了(13)。BVPs系统(14)并不总是有一个解决方案,这个解决方案存在,它不能是唯一的。注意,在许多变分问题,解决方案的存在是显而易见的从问题的几何和物理意义,如果欧拉方程的解满足边界条件,它是独一无二的。这个独特的极值将给定的变分问题的解决方案。因此,另一种方法求解变分问题(12)是找到解决常微分方程组(常微分方程)(14)满足边界条件(13BVPs),被称为系统。最简单形式的变分问题(12)是
用给定的边界条件
极值的功能(15),必要条件是满足二阶微分方程如下:
与边界条件给出了(16)。
可以强调,我们的方法是解决BVPs等(14)和(17)。
3所示。数值结果与讨论
为了演示分解方法的准确性,我们认为一些例子与已知的精确解。
例1。首先,我们考虑线性四阶积分微分的方程如(1),,,,;也就是说, 精确解在哪里吗 与和,一个可以找到下面的近似解 的最大绝对误差(4和方法,分别和。近似的图表和精确解图所示1。
例2。现在,考虑非线性四阶BVP (1),,,,,, 精确解在哪里吗 与和,一个可以找到以下近似的解决方案: 的最大绝对误差(4和方法,分别和。近似的图表和精确解图所示2。
例3。考虑的问题找到最低的积分 与边界条件 精确解在哪里吗 根据(17),相关的欧拉方程如下: 与和,计算结果如表所示1,计算值与解析解和勒让德多项式中获取的值在[11]。
4所示。结论
在这个续集,贝塞尔曲线法对四阶型积分微分方程求解线性和非线性BVPs。提出了算法产生的结果合理的准确性。数值例子表明,该方法是有效和非常容易使用。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者非常感谢裁判他们宝贵的建议和意见,改善了纸,他们想表达诚挚的感谢y Damchi医生。第三作者欣然承认部分支持大学Putra马来西亚。