文摘
我们研究一个缓慢的扩散拉普拉斯方程在有限域的诺伊曼边界条件。一个自然能源相关方程。结果表明,有限时间炸毁的解决方案与负的初始能量,基于能源技术。此外,初始数据在一些假设条件下,我们证明解决方案与有界的初始能量也炸毁。
1。介绍
在本文中,我们考虑一个缓慢的扩散拉普拉斯方程: 与,在那里是一个有界光滑域,,,,,表示。很容易检查;的质量是守恒的。
问题(1),可用于模型在种群动态和生物科学现象,化学或有机体的总质量守恒(1,2]。如果问题(1)是退化抛物型方程和似乎是相关理论的非牛顿流体(见[3])。这里,我们主要是感兴趣的,即退化。当,(1)成为深入研究的热方程(4,5]。当,(1)是单数,它可以处理类似的6]。
像许多进化的一个重要特性方程,爆破解的性质已被深入研究的主题在过去几十年。在这个地区调查,Fujita [7)第一次建立的所谓的理论临界爆破指数热方程的反应源1966年,可以,当然,视为优雅的描述爆破或全球存在的解决方案。从那时起,已经有越来越多的兴趣的研究关键Fujita指数不同的进化方程;参见[8,9调查的文献)。近年来,一直特别注意放大特性非线性退化或奇异与不同的非线性扩散方程的来源,包括内部来源,边界通量,或多个来源;见,例如,(3,10,11]。
在某些情况下,我们不得不面对改变信号的解决方案。例如,改变信号的解决方案被认为是在1外地和二次方程 诺伊曼边界条件。这项研究在5] 一个自然的泛化(2),提出了全球存在结果(小初始数据)和一个新的放大准则(基于局部极大值原理和Gamma-convergence参数)。作者们还推测,炸毁时的解决方案,然后用一个肯定的答复证明(4]。变化的信号反应扩散方程的解决方案 讨论了在2),等。得到的爆破方案即使在源。半线性抛物方程(12] 齐次纽曼的边界条件进行了研究。爆破结果的解决方案建立积极的初始能量变化的迹象。在[6),一个快速扩散拉普拉斯方程的非局部源 被认为是。作者表明,临界爆破则决心改变信号弱的解决方案,根据不同的大小和相关的自然能源的迹象。之间的关系有限时间爆破和初始能量的nonpositivity讨论,基于能源技术。
请注意,(1)是退化,如果在点;因此,没有经典的解决方案。为此,问题的弱解(1)定义如下。
定义1。一个函数与被称为弱解(1)如果 适用于所有。
可以获得当地的弱解的存在性通过正规化近似的标准程序10]。在整个论文中,我们总是假设弱解适当光滑为了方便的参数,而不是考虑相应的正则化问题。
本文组织如下。节2,我们表明,该解决方案(1)炸毁负值的初始能量。节3一些初始数据的假设下,我们证明解决方案与有界的初始能量也在有限时间炸毁。
2。负的初始能量的情况下
这里使用的方法是一样的(4];定义功能的能量 和表示
定理2。假设,,,,让最初的能量 是负的。然后,存在与,这样
泛函,我们需要三个前题,,,分别。
引理3。的能量是nonincreasing函数
引理4。假设,,。然后,满足如下不等式:
证明。一个简单的计算使用(1)和事实和显示部分 最后一个平等意味着 因为(12)的引理3和假设。
引理5。假设,,。然后,满足
证明。注意的定义和表明,一个简单的计算 此外, 因此,
定理的证明2。假设矛盾的解决方案对于所有存在。我们声称
对于任何。否则,存在这样
因此乙醯。。因此,注意由引理3我们从(15),
乙醯。。利用庞加莱的不平等,我们有乙醯。。这与。
积分(14)来,我们有
这意味着
因此,存在这样对所有
因此,结合(17),我们进一步
对所有。现在,我们考虑的功能。结合上面的不平等和显示一个简单的计算
对所有。然而,由于
我们也有
这是一个矛盾。
3所示。有界的初始能量的情况下
定义 与规范。让的最优不变嵌入不等式 在哪里。集
定理6。假设,。让初始数据令人满意的和。然后,存在与,这样
首先,我们证明以下两个前题,类似于[这个想法13]。
引理7。假设是一个系统的解决方案(1)。如果和。然后,存在一个正的常数,这样
证明。让和(32),我们有
为了方便起见,我们定义
它很容易找到如果增加和减少。此外,作为和。由于,存在这样。让;因此。然后由(37)和(38),我们有,这意味着。矛盾建立(35),我们假设存在这样
它遵循从(37)和(38),
在矛盾与引理是哪一个3。因此,(35)建立。
接下来证明(36),
这意味着
因此,(36)结论。
定义 然后,我们有以下。
引理8。假设是一个系统的解决方案(1)。如果和。然后对所有,
证明。由引理3,我们知道。因此, 根据(35)的引理7,一个简单的计算显示 保证结论的引理。
最后,让我们完成定理的证明6。
定理的证明6。根据(15),我们有 通过使用(33)和(36),我们得到 结合(47)和(48),我们得到 自,吹到一个有限的时间。定理的证明6就完成了。
备注9(行为的能量)。类似于定理1.3的5),很容易被证明。让,,让的稀溶液(1)。如果存在一个常数和时间,这样的解决方案存在于和满足在,然后是有界的。因此,上述结果和定理6显示,尽管最初的能量可以选为正,能量在某个时间需要变得消极,然后去。否则,有下限吗;因此是有界的。在矛盾与定理6。
确认
这项研究得到了国家自然科学基金(基金号。11226179,11201045)和大连民族大学的医生启动基金(批准号0701 - 110030)。