文摘

竞争生态模型与cross-diffusions齐次狄利克雷边界条件被认为是,在cross-diffusions都包含在这样一种方式,这两个物种彼此逃避,因为它们之间的竞争。利用上下解的方法,正解存在的充分条件是当cross-diffusions提供足够小。此外,调查不存在积极的解决方案。

1。介绍

在本文中,我们处理以下竞争生态模型与cross-diffusions: 在哪里是一个有限域具有光滑边界和所有参数都是正的常数。和代表两个竞争者的密度;和的内在增长吗和分别;和两个物种之间的竞争参数;在这里和被称为cross-diffusions。Cross-diffusions表达两个物种互相逃避是因为它们之间的竞争。摘要边界条件齐次狄利克雷边界条件下,在生物学上意味着边界不适合两个物种,他们都死在它的边界,这是理想的情况。

为了描述cross-diffusions的意义在这个模型(1)从生物学角度,我们给内在的扩散和交叉扩散的一般模型: 在哪里和两个物种的密度,内在扩散参数,交叉扩散参数, 可以被视为out-flux向量的和在。交叉扩散参数暗示这两个竞争对手和他们竞争对手的低扩散的方向相反,以避免彼此。本文响应函数和古典逻辑类型被认为是和。更多的生物意义的系统中可以看到1- - - - - -3]。

上下解的方法是一个有用的工具来研究存在的椭圆系统的解决方案。然而,有许多困难在调查存在正解的强耦合椭圆系统。最近,通过改变通用强耦合椭圆系统弱耦合的,作者在文献[4]给出了方法来判断使用Schauder椭圆系统的解的存在定理。此外,该方法可用于解决存在的强耦合椭圆系统的解决方案。在[5Ko和Ryu调查生态与交叉扩散的捕食者-食饵模型: 在这里可能是积极的还是消极的。使用的开发方法上、下解决方案(4),作者做了一个正解存在的充分条件(4)。受文献[5),我们调查的存在和不存在积极的解决方案(1)。

本文的主要目标是提供正解存在的充分条件(1)当cross-diffusions和很小。更准确地说,我们有下面的定理。让的主要特征值在齐次狄利克雷边界条件。众所周知,校长本征函数对应于不改变登录吗和。

定理1。如果,那么存在正的常数,当,(1)至少有一个积极的解决方案。

为,(1)是均匀狄利克雷边界条件下的竞争生态模型。在[6,7),作者使用不同的方法来证明正解的存在性,存在的一个充分条件。结论意味着弱交叉扩散并不影响正解的存在。

本文组织如下。节2解的存在性定理的一般类强耦合椭圆系统提出了利用上下解的方法。节3,充分条件的存在和不存在正解的1)调查。此外,我们提供相应的结果仅仅是如果竞争系统只有一个交叉扩散。

2。解的存在性定理一类强耦合椭圆系统

在本节中,我们给出解的存在性定理的一般类强耦合椭圆系统: 在这里让满足以下假设条件。(H1) 在域,。是一个函数对从来,,连续逆。然后对所有,让 存在只有一个,满足 (H2)这个函数是在增加和减少;减少在和增加。(H3)的函数李普希兹连续在,存在积极的常数这样对所有,函数是在增加;这个函数是在增加。

根据假说(H1), (5)可以写成以下平等PDE方程:

备注2。根据假说(H1), (5)也可以等于弱耦合椭圆方程如下:

在它的纯粹的形式,(9)比(简单8)。然而,由于混合函数的同谋和,很难找到的解决方案(9直接)。因此,我们将讨论(8)。

假设函数的值函数和在和的值函数和在。很容易描述,让

根据上部和下部的定义解决方案(4)和条件(H1)——(H3),我们给上下解的定义(5)。

定义3。两个函数被称为上下解(9)提供,他们满足的关系,所有,满足如下不等式:

我们可以得出以下结论4定理2.1)。

命题4。假设(8)耦合的上部和下部的解决方案,那么至少存在一个解,满足的关系 此外,的解决方案(5)。

接下来,如果满足 然后 (11)可以写成 综合,我们有下面的结果。

定理5。如果有一双功能,满足 和所有,(15)感到满意,那么(5)至少有一个解决方案,满足的关系。

确保上部和下部的解决方案合理,我们给以下两个前题;可以找到更多的细节在8,9]。

引理6。如果函数满足,,外单位法向量,那么存在正的常数,这样,尽管。

方程:

引理7。如果,然后(17)有一个独特的正解令人满意的。此外,增加对吗。

3所示。有两个Cross-Diffusions竞争生态模型

在本节中,正解的存在性(1)对应通过应用定理,研究了5为了证明定理1。

证明。我们寻求一些积极的常数足够大,足够小,引理6可以保证的存在吗和。它可以很容易地从霍普夫边界引理: 观察到利用引理7,我们可以,,满足以下三个条件:(我) ,尽管;(2) ;(3) 。
让。利用引理7再一次,存在,尽管,尽管,满足(iv) ;(v) ;(vi) ;(七) 。
我们将验证满足定理5。假设。然后我们作一对上下解的形式 在哪里满足条件(1)- (3)。让 然后 通过简单计算,(H1)和(H2)感到满意。
请注意 和所有,我们有 所以(H3)是满意的;观察者,和(4)和(15)和边界条件(16)可以检查。因此,如果我们想要获得通过(存在的解决方案4定理2.1],我们应该只验证, 因为减少在,减少在,是在增加,是在增加,只有验证下列不等式: 它很容易检查(25)(v), (vi),(七)。所以从[4,定理2.1),(1)有一个解决方案,除了。

最后,在调查正解的不存在性(1),我们给正解的先验约束。

定理8。任何积极的解决方案(1)有一个先天的绑定;这是

证明。让;然后 方程(1)可以写成 自,它很容易遵循。假设达到了其积极的最大值,然后 这 同样的,我们可以获得期望的结果

定理9。如果下列条件之一:(我) ;(2) ;是满意,那么(1),没有积极的解决方案。

证明。乘和第一次和第二次方程(1),和集成这些方程,我们有
(我)想,矛盾,1)有一个积极的解决方案,然后第二和第四个方程(32)产量 自由定理8,左边(33)必须是正的。另一方面,庞加莱不平等,,因为和给定的假设显示如下矛盾:
(2)收缩参数也被假设(1)有一个积极的解决方案。添加第四个方程的第一个方程,然后减去双方的身份得到如下: 自和、庞加莱不平等显示左边的(35)必须负的,更准确地说, 然而,这将导致一个矛盾,因为右边(35)显然是严格负面的积极性和。

备注10。结束本节之前,更多的正解的不存在性的充分条件(1),,正在调查中。取例如,然后(1)可能会减少 使用相同的方法,我们可以得到,37)没有正解,如果满足下列条件之一:(我) ;(2) ;(3) ;(iv) 和。