文摘
我们对共识,应用线性矩阵不等式方法单系统集成商可替换主体系统问题的共识与异构定向网络延迟。克服困难引起的异构时变延迟,我们重写多重代理系统部分降维系统和一个积分系统。结果,一个特定的构造李雅普诺夫函数获得充分条件可替换主体系统的共识与固定(转)拓扑。我们也把这种方法应用到共识的可替换主体系统干扰和异构延迟。数值例子说明理论结果。
1。介绍
近年来,分散协调可替换主体系统受到很多研究者的关注领域的系统控制理论、生物学、通信、应用数学,计算机科学,等等。在合作可替换主体的控制系统中,一个关键问题是设计适当的协议,这样多个代理在一组可以达成共识。到目前为止,利用矩阵理论、图论、频域分析方法,李雅普诺夫直接法,等等,为各种各样的共识问题可替换主体系统已经被广泛的研究(1- - - - - -3]。
领域的系统和控制理论,所做的开创性工作是博卡和Varaiya4]和Tsitsiklis Athans [5),应用程序异步共识的问题被认为是在分布式决策系统。后来,Vicsek et al。6)提出了一个简单但有趣的离散时间模型的多个代理可以被视为一个计算机模型的一个特例模仿动物聚合。Jadbabaie et al。7)提供了一个理论解释的共识Vicsek模型的属性。
单一案例的系统集成商,Olfati-Saber和莫里8]讨论了网络的动态代理的共识问题分歧通过定义一个函数。任和胡子9)建立更多relaxable共识条件动态变化交互拓扑。回族和哈达德(10),刘等人。11],Bauso et al。12]研究了非线性多重代理系统的共识的问题。谭和刘13)研究的共识通过网络预测控制网络可替换主体系统。李和张14)给充分必要条件可替换主体系统的均方average-consensus噪音。郑、王(15]研究限定时间的共识异构可替换主体系统和无速度测量。限制共识问题可替换主体系统在平衡网络调查在林和任16,17]。刘等人。18)认为共识问题指导下为可替换主体系统固有的非线性动力学拓扑。分布式最短的距离共识问题研究了动态变化的网络拓扑下林和任19]。李等人。20.]研究了分布式共识的问题可替换主体系统与一般的连续时间动态的情况下没有和一个领导者。
当考虑通信延迟的反馈,分析了三种类型的共识协议:(i)代理的状态和其邻国都受到相同的延迟(21- - - - - -27];(2)通信延迟只影响国家收到邻居的代理28- - - - - -32];(3)代理的国家和它的邻国影响异构延迟。注意,(i)和(ii)是(iii)的特殊情况。相比(i)和(ii)的情况下,达成共识的情况下(3)得到的关注更少。受限制的假设下是无向图和通信延迟是常数,Munz et al。32,33)调查了第三种共识协议的健壮性相同和不恒等的代理动态。
我们在这里关心的第三种类型的共识协议、异构延迟是时变的,和图直接有关。在我们看来,频域分析方法(32,33]变得无效的在这种情况下,很难采用李雅普诺夫直接方法。在本文中,我们将应用线性矩阵不等式方法这一问题。在[21- - - - - -25),线性矩阵不等式方法已经成功地应用在(我)。应用这种方法时(iii)的情况下,我们必须克服一些困难引起的异构时变延迟。为了这个,我们首先巧妙地重写partially-reduced-order的多重代理系统由于系统和一个积分系统。然后,通过定义一个特定的基于上述partially-reduced-order系统的李雅普诺夫函数和积分系统,充分条件共识推导在这两种情况下的固定拓扑结构和开关拓扑利用线性矩阵不等式方法。
我们也考虑到共识的问题单集成器多重代理系统异构时变延迟。到目前为止,很少有一致连续时间多重代理系统的结果。林等。34]研究了分布式健壮共识的问题指导网络的代理相同的延迟。Ugrinovskii [35)考虑设计的分布式健壮的过滤器的问题通过使用最近的向量耗散度理论共识。太阳和王(36)调查了共识与不对称双积分器多重代理系统延迟。
我们所知,却鲜为人知单一的共识问题积分器可替换主体系统异构时变延迟和网络拓扑。因此,本文的另一个目的是建立共识的标准情况下的异构延误和定向固定拓扑(或切换拓扑)通过使用线性矩阵不等式技术。
本文的结构如下。问题陈述和总结了多重代理系统的转换部分2。节3,充分条件和线性矩阵不等式建立共识共识单积分器多重代理系统的异构延迟。这些结果也扩展到切换拓扑的情况下。数值例子和仿真结果给出了部分4。本文的结论部分5。
本文中使用的符号是相当标准。矩阵的转置。是一个维单位矩阵。是一个维列向量,。我们说如果是正定的,在哪里和是相同的对称矩阵维度。我们使用一个星号代表一个词,是由对称和诱导代表一个block-diagonal矩阵。表示空间精确性向量函数。
2。预赛
在这篇文章中,我们表示加权有向图,在那里是一组节点和节点代表了th剂;的边缘,是一个边缘吗用一个订单对吗,当且仅当;是一个维加权邻接矩阵。如果是一个边缘、节点被称为节点的父呢。有向树是一个有向图,每一个节点,除了一个特殊节点没有任何父母,叫做根,正好有一位家长,根可以连接到任何其他节点通过路径。拉普拉斯算子的矩阵的有向图被定义为和为,。
考虑下面的多重代理系统异构延误: 在哪里,,加权邻接矩阵的条目,和不同的分段连续通信延迟满足吗和为,和都是正的常数。
表示和。如果我们将为通过简单的计算,我们得到的 在哪里维矩阵和维矩阵定义如下:
接下来,我们利用变换(2)获得系统的两个描述符系统(1)。重写(1)如下: 因此,Newton-Leibniz公式,我们得到一个矩阵形式的(4): 在哪里。
表示。通过变换(2)和拉普拉斯算子矩阵的性质那我们从(5)以下两个描述符系统:
当系统包含扰动输入,我们考虑下面的多重代理系统的形式 在哪里,,被定义为上扰动输入满意吗。
表示矩阵的行通过,,,。类似于上面的过程中,我们可以得到下面的矩阵形式的(7):
本文认为系统(1)渐近如果达到共识 说系统(7)解决如果系统(共识1)达到一致渐近,存在一个常数这样 对于所有非零在零初始条件下。
3所示。主要结果
引理1。的有向图有一个生成树当且仅当矩阵赫维茨。
引理2。对于任何连续向量在为和和任何维矩阵,下面的不平等是适用的:
基于前题1和2并在部分给出的预赛2,我们有以下共识结果系统(1)。
定理3。如果有向图有一个生成树,系统(1)达到一致渐近合适的常数和它满足以下矩阵不等式: 在哪里,,,,,,正定矩阵是合适的尺寸。
证明。首先,我们看到,(12)等价于
在哪里
另一方面,我们表明,(13如果有向图)是可行的有一个生成树。由引理1,我们认为存在一个正定矩阵这样。一次正定矩阵决定,不难看到了吗对于某些正定矩阵和。一旦矩阵,,确定(13足够小)是有效的和。因此,(13)总是适用于适当的矩阵,,和常量,如果有一个生成树。
接下来,通过向量的定义,它能充分显示如果(13)持有。我们构造李雅普诺夫函数如下:
在积极的常量和和正定矩阵,,满足(13)。我们现在考虑的导数沿着轨迹的系统(6)。为了方便,集
一个简单的计算收益率
由引理1,(6)和(17),我们有
在哪里和和是由(14)。从(13)和(18),我们有为。因此,我们最终得出结论。这就完成了定理的证明3。
定理4。对于给定的常数和,如果存在正定矩阵,,适当的维度和积极的常量和这样下面的线性矩阵不等式是适用的: 在哪里,,,,被定义为上面,然后系统(7)解决共识,。
证明。选择李雅普诺夫函数定义为(15)。首先,(19)意味着(12)持有。由定理3系统(1渐近)达到共识。接下来,我们表明,(10)持有对于所有非零在零初始条件下。事实上,类似于定理计算3,我们有 这意味着 在哪里, 由(19),(21)和(22),我们有 积分(23)来在零初始条件下,我们得到的 这就完成了定理的证明4。
备注5。类似于分析定理的证明3定理,我们看到,一个必要条件3是有向图有一个生成树。也就是说,基于线性矩阵不等式(19)意味着有一个生成树。
注6。不像大多数的共识分析多重代理系统,它不需要对所有在定理的证明3和4。因此,即使对于一些系统(7)也可以解决在适当的条件下达成共识。
本文中使用的方法还可以扩展到的情况下切换拓扑。考虑下面的多重代理系统切换拓扑和异构延误: 在哪里,是一个开关信号,确定哪些子系统活动的时间吗,,,加权邻接矩阵的条目。当,我们表示有向图。
在降维变换(2),系统(25)可以被描述为以下两个系统: 在哪里和被定义为上,,(相对于有向图被定义为,,,分别。我们定义的李雅普诺夫函数(15)是常见的切换系统的李雅普诺夫函数(26)。然后,类似于定理的证明3,我们有以下共识导致切换拓扑结构的情况下。
定理7。对于给定的常数和系统(25)解决共识下任意切换,如果存在正定矩阵,,适当的尺寸,以下线性矩阵不等式 适用于,在那里,,,。
同样,以下将多重代理系统扰动输入和异构的延迟 我们有以下一致的结果。
定理8。对于给定的常数和,如果存在正定矩阵,,适当的维度和积极的常量和这样下面的线性矩阵不等式 适用于,在那里,,,,,相对于有向图被定义为,,,,,在定理4,然后系统(28)解决共识,在任意切换。
4所示。数值例子
考虑以下四个和六个节点如图1,重量相对于边缘实线和虚线所示和,分别。
(一)
(b)
(c)
(d)
当,我们有(12)是可行的和。由定理3系统(1渐近)达到共识。随机初始条件下的状态轨迹图所示2。在备注6,我们证明定理3也可以应用于极端的例子当权重的一部分吗是负的。例如,如果,我们有(12)仍然是可行的和。因此,系统(1)也解决了一致渐近,即使存在负权值。随机初始条件下的状态轨迹图所示3。
对于扰动输入的情况下,假设和为。因此,。对于给定和我们从(19),。由定理4我们有,系统(7)解决共识,。如果我们让 的轨迹系统(7)在一个随机初始条件如图4。
的情况下切换拓扑,我们有(27)是可行的和。由定理7系统(25)解决共识下任意切换。
5。结论
在本文中,我们首先应用线性矩阵不等式方法一致的单一系统集成商可替换主体系统异构时变延迟指导网络。与相同的延迟的情况下,可替换主体系统异构延迟通常不能转换为降维系统。为了克服这样的困难,我们引入一个partially-reduced-order系统和一个积分系统。因此,线性矩阵不等式方法变得有用的共识,在分析一致通过构造一个特殊的李雅普诺夫函数。主要的结果也扩展到切换拓扑的情况下。最后,数值例子和仿真结果说明理论结果。
确认
这项工作是由中国国家自然科学基金(批准号61174217和61174217)和山东省自然科学基金(批准号,ZR2010AL002和JQ201119)。