文摘
变分迭代法(VIM)应用于解决磁流体动力流边界层问题的非线性拉伸板。VIM的结合和Pade近似值是证明是一个强大的方法组成的系统求解两点边值问题的非线性微分方程。和结果的比较与其他可用的结果表明,该方法是非常有效和方便解决边界层问题。
1。介绍
众所周知,大多数的现象出现在数学物理和工程领域可以由偏微分方程描述。最新进展产生了偏微分方程的新应用程序的例子,在流体力学、粘弹性、数学生物学、电化学、物理。有很多传统和最近开发方法给数值和分析非线性微分方程的近似解,如欧拉方法,龙格-库塔方法,泰勒级数法、Adomian分解法(1),变分迭代法(2,3],Hankel-Pade方法[4],DTM-Pade方法[5),同伦摄动法(6),和哈密顿方法7]。
在本文中,我们考虑在[作者提出的模型1)描述的问题不可压缩粘性流体的边界层流动非线性拉伸板。边界层流动常常遇到在很多工程和工业过程。这些过程包括气动挤压的塑料布,热轧,玻璃纤维生产,等等1,4,5]。和拉伸流动问题的各个方面讨论了通过各种调查。Chiam [8]分析了磁流体动力流的粘性流体有限伸展表面与幂律速度。他边值问题的数值解,利用龙格-库塔算法和牛顿迭代。在这里,我们的目标是解决磁流体动力流表与非线性引起的拉伸。非线性问题的近似解是通过变分迭代方法。
变分迭代法(2]是一种拉格朗日乘子法解析解。该方法给出了可能性来解决各种各样的非线性方程。在这种方法中,总体介绍了拉格朗日乘数法来构造校正功能的问题。通过变分理论乘数可以确定最优。它已被用于解决有效,容易和准确很大一类非线性问题近似(9]。
2。VIM的基本思想
的基本思想是系统地说明和讨论9,10]。为了说明VIM的基本思想,我们考虑下面的一般非线性系统: 在哪里,,是线性算子、非线性算子和给定的连续函数,分别。的基本特征的方法是构造一个校正功能系统,读取 在哪里是拉格朗日乘子可以通过变分理论确定最优。下标表示th近似,代表一个受限制的变化,。
3所示。问题陈述和控制方程
我们考虑的磁流体动力(磁流体动力)流不可压缩粘性流体在拉伸表。下导电流体应用磁场的影响正常拉伸表。感应磁场是被忽视的。由此产生的边界层方程如下(1]: 在哪里和的速度分量吗和方向,分别运动粘度,是流体密度,是液体的导电性。在(4),外部电场极化的影响可以忽略不计,而在(8] 相对应的边界条件的非线性拉伸一片 在利用以下替换: 用(8)(3)- (6),由此产生的非线性微分系统可以被写成以下形式: 在哪里 的参数是一个测量的压力梯度,是磁参数。积极的表示良好的负压力梯度,负面的表示不宜正面压力梯度;自然地,表示平板。的特殊情况的精确解析解(9)(11]
4所示。VIM的近似解
为了获得VIM的解决方案(9读),我们构造一个校正功能 在哪里是一般的拉格朗日乘数可以通过变分理论确定最优。和被认为是一个受限制的变化,。为了简单起见,我们省略星号。静止的条件可以得到如下: 拉格朗日乘数法可以很容易地确定为以下形式: 因此,我们获得以下变分迭代公式 现在,我们假设一个初始近似 在哪里,未知常数是进一步确定。
通过迭代公式(16)和初始近似(17),我们就可以直接获得一阶近似解如下: 利用初始条件,我们可以容易地得到结果如下: 在哪里将检查在这工作,根据初始条件。
然后, 和下面的二阶近似解 因此,根据(13),我们可以很容易地获得高阶近似解如下: 通过使用数学软件MATLAB等。
显然,解决的主要问题(21)获得的价值,那么我们可以采取任何数值积分程序获得问题的解决方案。为了这个目的,我们将使用Pade方法来确定这个未知值精度高。
5。Pade逼近
众所周知,Pade逼近(12)的优势操纵多项式近似多项式的有理函数。这个操作为我们提供了关于解决方案的数学行为的更多信息。除此之外,幂级数不是有用的大值说,。这可以归因于收敛半径的可能性可能不是足够大的包含域的边界。因此,本系列的组合解决方案通过分解方法或任何其他系列解决方案与Pade逼近方法提供了一个有效的工具来处理边值问题在无限或半无限域。此外,它是指出,Pade近似值可以很容易地通过使用Matlab计算。
因此,我们假设的解决方案可以展开为泰勒级数 Pade近似值,象征是一个有理函数定义的 如果我们选择,那么近似式被称为对角近似值。更重要的是,对角近似值是最准确的近似值;因此,我们必须构建只对角近似值。
然后, 通过使用叉乘法(25),我们发现 使用边界条件对角线的近似值如果系数消失最高的权力在分子上消失了。通过将系数最高的权力等于零,我们可以很容易的获得的值表中列出1和2和图1,使用Matlab。的顺序Pade逼近[12/12]有足够的精度;另一方面,如果Pade逼近阶的增加,增加解决方案的准确性。
用(21)和的值到(8),我们可以很容易地获得的二阶近似解(3)- (4)。
6。结论
在本文中,使用变分迭代法获得磁动流体力学边界层方程的近似解。执政的非线性边界层问题的解析解。不使用Pade逼近,得到的解析解VIM不能满足边界条件的无穷。VIM的结合和Pade近似值是证明是一个强大的方法组成的系统求解两点边值问题的非线性微分方程。和获得的解决方案是在良好的协议与精确值。
确认
本文中描述的工作是完全支持的研究资助委员会的资助香港特别行政区,中国使用证(116308)和自然科学基金会中国江苏高等教育机构(批准号12 kjb130002)。