文摘

我们获得弱解的存在分数相对理论带来的非线性双曲方程的伽辽金方法。它的独特性。此外,我们的规律得到的解决方案。在我们的证据,我们使用谐波分析技术和密实度参数。

1。介绍

本文涉及以下部分偏微分方程 : 在哪里 的平方根是拉普拉斯算符, , 是两个真正的参数, 是给定的。方程(1)- (3)发挥重要作用在核力和相对论的理论。

部分扩散算子 是外地的,只有当 ,这意味着 不仅取决于 为 附近 ,但在 对所有 。分数微分方程,由粘弹性等数学物理,电化学,控制理论,多孔介质,电磁学,现在吸引许多数学家的利益;参见[1- - - - - -4)和引用。在过去的十年里,quasi-geostrophic方程部分耗散被广为研究;看到江诗丹顿等。5- - - - - -9)和引用。相对论性方程与quasi-geostrophic方程共享一些相似的困难。然而,方程研究了更复杂的部分扩散算子和非线性项(1)- (3)带来新的困难,通过近似解的极限,因此,必须引进新设备来克服这些障碍。

当 ,(1)- (3)成为标准方程,深入研究了在过去的一个世纪。读者被称为(10- - - - - -12为更多的细节。

有趣的是,抛物线的版本(1)- (3)和对流对应navier - stokes方程阻尼;参见[13,14]。

我们现在收集符号。的平方根-拉普拉斯算子 , 是由(用傅里叶级数) 在哪里 的傅里叶系数 : 更普遍的是, 为 可以被定义为

我们还将调用均匀水列夫空间的概念 包括所有的分布 在 这样 我们还记得弱(的意义 )收敛 。自双 是 和空间 是密集的 (注意到周期性边界条件) 与 当且仅当 与 或 当且仅当(9)持有。

我们现在关闭这个介绍,概述了本文的其余部分。节2,我们证明弱解的存在(1)- (3);看到定理4。这样的弱解的唯一性节中讨论3;看到定理5。最后,获得了规律性的结果4;看到定理6。

2。弱解的存在

首先,让我们回忆起以下两个基本的前题。

引理1(见[15])。让 巴拿赫空间, , ,然后 。

引理2(见[15])。让 是一个有限域 , 属于 与 然后 在 弱。

现在让我们给弱者制定(1)- (3)。

定义3。让 , , , 。一个可测函数 据说是一个弱解 (1)- (3如果下列条件:(1) 和 ;(2)(1)持有的分布;也就是说,
为每一个 ;(3) a.e.在 ;(4) a.e.在 。

项目(4)的定义3很有道理,我们重写(1), 注意到(16] 我们有 同时,由于这一事实 我们推断(13), 因此 因此,(1)项的定义3,(18),引理1,我们收集, 由此,我们看到,(4)项的定义3很有道理,声称。

现在,我们国家我们的存在导致下面的定理。

定理4。让 , 然后存在至少一个弱解 在 (1)- (3),以 初始数据。

证明。我们用伽辽金法建立这样一个解决方案的存在。
一步1近似解的(施工)。让 密度和总基础 ,考虑到近似解的形式 在哪里 满足下列常微分系统: 在这里,以后,我们表示 为 。
系统(24)- (26)非奇异的因为 是线性无关的。因此,我们可以申请标准理论的常微分方程来获得局部解的存在(24)- (26) ,对于一些 。在下一步中,我们将建立一些先验估计得到的解决方案将确保 。
一步2(先验估计)。的内积(24), 在 ,我们获得 集成在 然后调用持有人不平等收益 由于(20.),(25)和(26),我们有 , 一致有界。因此,(28)成为 注意到 ,我们有 然后应用Gronwall不等式收益率 因此,
一步3(通过限制 )。
由(31日)和(32),我们有,随后发生的事情,仍然用 ,这 而且 一致有界的 。因此通过引理1,我们发现 因此,存在一个函数 这样 由引理2事实上, 我们知道那 修复 现在,我们通过限制 在(24)来推断出 一个简单的密度参数显示 对所有 。
到目前为止,我们已经证明项目(1)和(2)的定义3。让我们将注意力转向项目(3)和(4)中定义3。
由(33)和引理1,我们知道 弱的 ,从(25), 在 ;因此项(3)的定义3验证。
由(24)和(39),我们看到 通过引理1,我们有 另一方面,(26)意味着 因此 这个验证项目(4)的定义3。

3所示。独特性疲弱的解决方案

在本节中,我们将讨论弱解的唯一性(1)- (3)。我们只获得部分结果 。更准确地说,我们有下面的定理。

定理5。假设在定理4,那么存在一个独特的弱解(1)- (3),以防 。

证明。让 , 是两个弱的解决方案(1)- (3)给出了定理4同样的基准。然后 满足 同时,我们有
的内积(44), 在 ,我们获得
调用持有人和水列夫的不平等,我们获得 在哪里 ,我们使用 )。
因此,(47)成为 我们得到 , 根据需要。

4所示。弱解的规律

现在我们讨论的解决方案的规律(1)- (3)。如果初始值和力更普通,那么解决方案。

定理6。让 和 。那么存在一个独特的弱解(1)- (3)。此外,

证明。我们建立一个先天的界限,因为验证之前直接通过伽辽金近似解的限制。
步骤1(初始数据范围)。观察到 我们看到水列夫不平等的 由公式(13),我们有
步骤2(边界 , )。区分(1)对 ,我们发现 的内积(55), ,我们通过分部积分获得 第一项 可以很容易地由使用持有人不平等 解决 ,我们调用持有人和水列夫推断出不平等 在哪里 , 选择这 因此 收集(57)和(58)(56),它遵循 Gronwall不平等意味着
步骤3(边界 )。重写(1), 我们有 ,针对类似的不平等满意 (53)。
这就完成了定理的证明6。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

Zujin张部分支持的江西省青年自然科学基金(20132 bab211007),江西省教育部门的科学基金会(GJJ13658 GJJ13659)和中国国家自然科学基金(11326138,11326138)。Xiaofeng王部分由广州高等教育科技投影(2012 a018)。